高数极限易错题

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1、.求极限请注意自变量趋向什么。我们知道：lim(x趋向0)sinx/x=1，但是当x趋向无穷limsinx/x=0，原因：无穷小量×有界函数=无穷小量。这里：

2、sinx

3、<=1，1/x是无穷小量。再次重申：请注意x趋向什么。　　2.关于极限的保号性。若limf(x)=A,A>0或(A<0)，则存在δ>0，当x取x0的δ去心　　x->x0邻域时,f(x)>0(或f(x)<0)。这是最原始结论：如果结论中不取去心邻域，那么结论是错的。比如举例分段函数：当x=0时，f(x)=-1，当x不为0时，f(x)=x^2＋1，显然lim(x趋向0)f(x)=1>0，然

4、而并不满足f(x)>0(在x=0处)。介绍这个定理的作用：解一类题。请看：已知f(x)可导，且当x趋向0，limf(x)/

5、x

6、=1，判断f(x)是否存在极值点。因为f(x)可导，那么f(x)必连续，因为lim(x趋向0)f(x)/

7、x

8、=1这个极限存在且为1，那么我们得到结论：lim(x趋向0)f(x)=0，否则不会存在极限的，又因为f(x)连续，那么f(0)=0，令f(x)/

9、x

10、=g(x)，根据保号性，因为limg(x)=1>0，那么：g(x)>0，那么由于

11、x

12、在x趋向0时>0，所以f(x)>0，而0=f(0)，所以f(x)>f(0)，根据极小

13、值的定义，x=0为f(x)的极小值点。★综上：已知limg(x)=a，a的正负已知，可以使用保号性。　　3.请注意当题目说：x趋向无穷时，那么题目包含两个意思：x趋向正无穷和x趋向负无穷。在含有e^x，arctanx，等等类的题目时，请看清楚x趋向无穷还是趋向正无穷或者是负无穷。补充：在含有绝对值的题目时，这点尤其重要，如果说x趋向无穷，那么在去

14、

15、时，必须考虑

16、x

17、中x是趋向正无穷还是负无穷，当然题目不一定非要以绝对值出现，有些题会以√(x^2)出现。　　4.关于和差化积积化和差公式的记忆。8字口诀：同c异s，s异c同。前者用来记住积化和差，后者用来

18、记住和差化积。举例：sinacosb=？因为它们的三角函数名异名，那么使用s，sinacosb=(1/2)(sin(a+b)+sin(a-b))，★说明：1，纯粹个人记忆方法，接受不了也正常；2，这个口诀的使用基于你知道=右边的基础轮廓，比如所有的积化和差，右边是1/2(()＋(或者-)())；3，实在不会，死记硬背吧，或者请教别的大神。　　5.关于极值点的3种判别法：■法一：定义法；■法二：若f(x)可导，f'(xo)=0，且f’’(x)不为0，则f(x)在xo处取得极值，若二阶导<0，取得极大；＞0，极小。法三：(n阶判别法)：若f'(xo)=二阶

19、导(xo)=…=n-1阶导(xo)=0，且n阶导不为0，若n为偶数，且n阶导>0，极小，反之，极大；若n为奇数，n阶导不等于0，则(xo，f(xo)为拐点，xo不是极值点。证明：略　　6.参数方程二阶导问题(无数不懂事的孩子搞不清楚)，我们说一般地，y''表示对x的二阶导数，不是对参数t的二阶导数。y''=d^2y/dx^2=[d(dy/dx)]/dx，对于求dy/dx，我们采用求关于t的y’(t)，和关于t的x'(t)，因为dy/dx=(dy/dt)×(dt/dx)=y'(t)/x‘(t)。举例：已知y=cost，x=t^2，那么求dy/dx，d^2

20、y/dx^2。标准解答：1：y'(t)=-sint，x'(t)=2t，所以dy/dx=-sint/2t；2：d^2y/dx^2=d(dy/dx)/dx=｛d[(-sint)/2t]｝/dt*(dt/dx)=(-tcost+sint)/(4t^3)………★综上：二阶导是一个整体记号，不是简单的除法。　　7.等价无穷小只能使用于乘除(题外：其实它可以使用于加减的，这里不说，以防混淆)。比如：初学者可能会认为这个极限为0，lim(x趋向0)(tanx-sinx)/x^3=0[计算思路：(x-x)/x^3=0]，事实上它等于1/2.原因：提取tanx后等价无穷

21、小。等价无穷小必须自己去背的，没有人可以帮你。　　8.对隐函数求导的问题很多同学搞不清楚。错误一：把变量当做常量。比如：y=x^x，标准解答lny=xlnx，两边对x求导，y'/y=1+lnx，所以y'=(x^x)(1+lnx)。错误做法：y=x^x，y'=x(x^(x-1))=x^x。(但愿你们找到了错误在哪)，错误二：搞不清楚对x求导是什么意思。当然：y=x^2求导大家都会吧，y'=2x，当出现对y^2=x^2，很多同学就迷茫了，我们说y是x的函数，所以最后必须乘y'，对y^2=x^2求导，得到：2yy'=2x.再则：对隐函数求导我们把其中一个看成

22、常量，比如y=yx+x^2，那么求导：y'=y+y'x+2x。★综上：对隐函数求导，若是单独y