高级微观练习题及答案

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1、1．两种产品和唯一需要的要素投入是劳动。一单位产品需要的劳动投入量是8，一单位产品需要的劳动投入量是1。假设可投入的劳动量总共为48。（1）写出生产可能集的代数表达式；（2）写出生产（隐）函数；（3）在平面上标示生产边界。解：（1）由题意可知，总量为48，劳动是两种产品唯一需要的要素投入，所以有：因此，生产可能集的代数表达式为。（2）一单位产品需要的劳动投入量是8，一单位产品需要的劳动投入量是1，所以生产（隐）函数为。（3）由（1）可得，生产可能集为，如图1-1所示。2．试画出Leontief生产函数

2、的等产量线。解：由Leontief生产函数表达式可知，当时，，由此可得到其等产量线如图1-2所示。3．对Cobb-Douglas生产函数（1）证明，。（2）求技术替代率。（3）当或变化时，如何随之变化？（4）画出等产量曲线。解：（1）已知生产函数，即，所以有：21即得证。（2）在（1）中已经证明，，因此，技术替代率为：在Cobb-Douglas生产函数中，整理得。（3）由（2）可知，，技术替代率与无关，不随的变化而变化；而变化时，技术替代率随之等比例变化。（4）已知Cobb-Douglas生产函数的技

3、术替代率，就是相应点处等产量曲线切线的斜率。它的等产量线如图1-3所示。图1-34．对CES生产函数，，（1）证明边际产出。（2）求技术替代率。（3）当或变化时，如何随之变化？（4）证明技术替代弹性。解：（1）21同理可证，因此可得边际产出为。（2）由（1）得，。所以，技术替代率。（3）已知技术替代率，所以，当变化时，保持不变；当变化时，随之等比例变动。（4）假设，则，那么：即得证。7．下列生产函数的规模收益状况如何？（1）线性函数：，；（2）Leontief生产函数；（3）Cobb-Douglas生

4、产函数；（4）CES生产函数。解：（1）线性生产函数，，产量随要素投入变动同比例变化，规模收益是不变的。（2）Leontief生产函数也是产量随要素投入变动同比例变化，规模收益是不变的。（3）Cobb-Douglas生产函数，当21时，是规模收益不变的；当时，规模收益是递增的；当时，规模收益是递减的。（4）同理，CES生产函数，产量随要素投入变动同比例变化，规模收益是不变的。1．对于Cobb-Douglas生产函数：，，，。（1）验证：仅在参数条件下，利润最大化问题的二阶条件才能得到满足；（2）求要素

5、需求函数和产品供给函数（可在结果中保留变量）；（3）求利润函数；（4）验证利润函数是的一次齐次函数；（5）验证Hotelling引理。解：（1）Cobb-Douglas生产函数为，利润最大化的二阶条件是生产函数的Hessian矩阵是半负定的，即：中，，且矩阵的行列式非负，所以，。（2）利润最大化问题的一阶必要条件是：，所以要素需求函数为，。将要素需求函数代入生产函数21，解得产品供给函数为。（3）利润函数为：将代入，得：（4）由（3）知，利润函数为：因此，利润函数是的一次齐次函数。（5）利润函数中，的

6、幂次为，且。其中一部分从而有，。同理，可验证。213．厂商在短期内以可变要素1和固定要素2生产一种市场价格为的产品，生产函数为，要素1和2的价格分别为和。（1）求厂商的短期可变要素需求；（2）求厂商的短期利润函数。解：（1）厂商的利润函数为，转化为利润最大化问题，即：利润最大化的一阶条件为：解得，这就是厂商的短期可变要素需求。（2）厂商的短期利润函数为：4．某厂商以一种投入同时生产两种产品，生产函数是试求该厂商的要素需求和产品供给。解：由题意可得：将约束方程改写为，代入目标函数，可整理为一个无约束的最

7、大值问题，其一阶必要条件为，，解得要素供给函数为，，从而得到要素需求函数为。5．一个多产品市场厂商的生产函数是，对其利润最大化问题（2.32），（1）写出角点解的一阶必要条件；（2）写出内点解的二阶必要条件。21解：（1）考虑角点解可以列出下列式子：构造拉格朗日函数：一阶必要条件：在最优点，存在及，使得：并且满足。（2）不考虑角点解，构造拉格朗日函数：内点解的二阶必要条件是：对任何满足的向量，满足。1．某厂商具有Leontief生产函数：，。（1）求条件要素需求函数和成本函数；（2）画出成本函数曲线。

8、解：（1）在Leontief生产函数中，产量仅是和中较小的一个值，所以，无论是利润最大化或者是成本最小化问题，厂商的最优投入必然满足。在此约束下，生产函数可以简单地写为（当然也可以写为）。从而，对于预先给定的产量，条件要素需求是：，成本函数：。（2）厂商的成本函数如图3-1所示。21图3-12．某厂商具有线性生产函数：，。（1）求条件要素需求函数和成本函数；（2）画出成本函数曲线。解：（1）成本最小化问题是：①若，条件要素为，成本函数是；②若，条件要素为