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1、平面向量1、向量的定义：既有大小又有方向的量叫向量2、向量的表示方法（1）几何表示：以A为起点，以B为终点的有向线段记作，如果有向线段表示一个向量，通常我们就说向量.（2）字母表示：印刷时粗黑体字母a，b，c…向量手写时带箭头的小写字母，…3、向量点的长度（模）向量的大小叫做向量的长或模，记作
2、
3、、｜｜4、零向量：长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行＝｜｜＝0单位向量：模为1个单位长度的向量向量为单位向量｜｜＝1平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量称为平行向量，也叫共线向量记作∥5、相等向
4、量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为即大小相等，方向相同6、对于任意非零向量的单位向量是｜｜.7、向量的加法（1）三角形法则设，则+==对于零向量与任意向量的和有（2）平行四边形法则已知两个不共线的向量，，做，则A、B、D三点不共线，以AB、AD为邻边作平行四边形ABCD，则对角线上的向量=+.当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：，但这时必须“首尾相连”．8、向量加法的运算律（1）交换律+=+（2）结合律
5、(a+b)+c=a+(b+c)9、向量的减法即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量图：10、相反向量：与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量.记作（1）=，即与互为相反向量；（2）若、是互为相反向量，则=,=,+=；（3）+()=()+=；（4）零向量的相反向量仍是零向量（5）对于用起点和终点表示的向量，则有=—BA,即和-BA互为相反向量11、已知向量α，b，则
6、
7、α
8、-
9、b
10、
11、≤α±b≤
12、α
13、±
14、b
15、12、向量数乘运算实数λ与向量的积是一个向量，记作λ，它的长度与方向规定如下：（1）；（2）当时，与同向
16、当时，与异向当或=时，，方向是任意的13、向量数乘的运算律（1）λ(μ)=(λμ)（2）(λ+μ)=λ+μ（3）λ（+）=λ+λ（4）（—λ）=—（λ）=λ（—）λ（—）=λ-λ14、向量共线判定定理当向量≠，对于向量，如果有一个实数，使=，那么共线.向量与向量（≠）共线有且只有一个实数，使得=.15、向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量、以及任意实数λ、μ1、μ2恒有（μ1±μ2）=μ1+μ216、平面向量的基本定理如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数
17、使：，其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底17、两向量夹角θ范围[0°~180°]θ=0°同向图θ=180°同向θ=90°垂直，记为┴18、平面向量的正交分解把一个向量分解成两个互相垂直的向量19、平面向量的坐标表示（1）直角坐标在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的的一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y使=xi+yj，则把有序数对（x，y）叫做向量的坐标。（2）坐标表示在向量的直角坐标中，x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标
18、，=（x，y）叫做向量的坐标表示。（3）在向量的直角坐标中，i=（1,0）j=（0,1）=（0,0）20、若和实数λ（1）（2）=(x1,y1)（3）若，则=OB-OA=(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1)21、向量平行条件（1）若，（2）若，如果不平行于坐标轴，即x2≠0y2≠0，则//x1x2=y1y2即两个向量平行的条件是成比例（注意此时x2·y2≠0）22、向量的数量积已知两个非零向量与，它们的夹角为，则·=︱︱·︱︱cos其中是与的夹角，︱︱cos叫做向量在方向上的投影。规定23、数
19、量积的几何意义·等于的长度︱︱与在方向上的投影︱︱cos的乘积24、与都是非零向量，它们的夹角为（1）·=0（2）同向时·=︱︱·︱︱反向时·=—︱︱·︱︱（3）或︱︱=·=2（4）cos=·︱︱·︱︱（5）
20、·
21、≤︱︱·︱︱25、向量数量积的运算律（1）交换律：（2）结合律：（3）分配律：特别注意：（1）结合律不成立：why？前者表示与共线的向量，后者表示与向量c共线的向量，而与c不一定共线。（2）消去律不成立不能得到（3）=0不能得到=或=26、平面向量的数量积的坐标运算：已知两个向量，则·=27、垂直设两个非
22、零向量，则⊥·＝O28、设=（x，y），则︱︱=x2+y2设A=（x1，y1）B=（x2，y2），则=（x2-x1）2+（y2-y1）229、已知两个非零向量与，作=,=,则∠AOB=（）叫做向量与的夹角cos==（可用此公式求两向量夹角）当<0，ϵ（π2，π];当>0，ϵ[0，π2）；当=0，=π2当且仅当两个非零向量与同方向时，θ=00，当且仅当与反方向
