Hamilton体系下的扩展有限元方法

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1、第33卷第1期2015年2月中国民航大学学报JoURNALoFCⅣILAVIATIoNI”ⅡVERSn’YoFClⅡNAV01．33No．1February2015Hamilton体系下的扩展有限元方法卿光辉，沈雄(中国民航大学航空工程学院，天津300300)摘要：基于Hamilton体系下的弹性力学理论，推导了扩展有限元法的有关公式。具体计算了含裂纹的等厚度薄板的应力强度因子，数值分析所得结果与精确解进行了比较，证明了本文方法的正确性。本文为扩展有限元研究提供了一种新的数值计算方法，拓展了扩展有限元的基础理论。关键词：扩展有限元；裂纹；Hamilton体系；应力强度因子中图分类号

2、：0326文献标志码：A文章编号：1674—5590(2015)01一0059一06ExtendedfiniteelementmethodbasedonH帅iltontheOryQINGGucIng—h越，sHENXtong(cof如ge矿Aer0，砌斑“E，画聊e矗凡g，cA∽，孔n巧讥300300，仍i砌)Abstract：BasedontheelasticitytheoryofHamiltonsystem，thecorrespondingfo册ulaeofextended6niteelementmethodarederived，and山estressintensityfact

3、oroftheequalthicknessthinplatewithcrackiscalculated．Thenume—ricalresultiscomparedwiththeexactsolution，verifyingtheeff'ectivenessofthismethod．Anewnumericalapp—IDachtostudytheextendedfiniteelementisoⅡbred，andthebasictheoryoftlleextended6niteelementisex—panded．Keywords：extendedfiniteelementmethod

4、；cmck；Hamiltonsystem；stressintensityfactor19世纪80年代，Hamilton计算方法的陆续出现以及Hamilton体系理论研究的发展，使其在数值求解方面上的应用得到前所未有的发展。20世纪末，Hamilton体系又被引入弹性力学中，给弹性力学问题的求解带来了一种新的思路”。扩展有限元法是在常规有限元框架内求解不连续问题的数值计算方法，它是基于单位分解思想【2-3】，以常规有限元为基本框架，在位移插值函数中加人了模拟裂纹界面的跳跃函数和裂尖渐近位移场函数，求解过程与常规有限元方法基本相似，离散网格与裂纹的几何位置无关，且是相互独立的，在裂尖处

5、不必加密网格，因此便于分析含有裂纹的不连续问题㈣。本文的目是为扩展有限元研究提供一种新的数值计算方法，丰富扩展有限元的基础理论，以及Hamilton理论体系的工程应用范畴。本文针对裂纹问题，在前人扩展有限元理论的基础上，引入Hamilton理论，即采用一种强有力的半解析法用(在一个方向采用常规有限元插值，而在另一个方向采用状态空间法给出控制方向的解析解答)。首先是将扩展的形函数代人Hamilton弹性力学理论中，就基于Hamilton弹性力学理论的相关公式进行了详细的推导。其次，利用Matlab、Mathematica软件编写了相关程序，计算了含裂纹的等厚度薄板的裂纹尖端的应力和位

6、移，从而计算得到应力强度因子，数值结果与理论值进行了比较，验证了此方法是可行的。1扩展有限元在常规有限元的基础上，扩展有限元位移插值函数中，加人反映裂纹面的跳跃函数和裂尖渐近位移场函数【8】，根据前人的相关文献资料可知，用Hamilton体系表示的弹性力学基本方程中，应力和位移是完全独立的，因此，对于应力也可用相同的形函数进行插值处理，成立收稿日期：2013—10—18；修回日期：2013—12—09基金项目：中国民航大学科研基金项目(2012kye07)作者简介：卿光辉(1968—，，男，湖南新化人，教授，博士，研究方向为复合材料力学．一60一中国民航大学学报2015年2月M(z

7、，y)=∑川(z，y)地+∑心(戈，y)日(石)吩+i∈NiE俨4∑眠(戈，y)∑凡(戈，y)《(1a)^E胪’a=l盯(戈，y)=∑M(戈，y)呒+∑哪(z，y)日(戈)q+IE，vjE俨4∑眠(z，y)∑R(茏，y)《(1b)^E肿1d=1其中：i是离散单元的节点集合；．7是有裂纹穿过单元的节点集合；矗是含裂纹尖端单元的节点集合，节点标记如图1所示；眦、M、眠分别是对应节点形函数；位移插值式(1a)中，u。为单元相应节点的位移，卧6：分别为单元相应附加节点的位移；