轴向受力杆件

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1、第五章轴向受力杆件工程中有许多结构中的杆件仅承受轴向拉伸或压缩载荷。例如图5－1中起重机，其起重杆受轴向压力。这一类杆件受力的特点是杆端外力的作用线与杆的轴线重合，称为轴力杆件。建筑结构中的钢屋架，空间网架等都由细长杆件连接而成。虽然杆件的连接处采用焊接或铆接，但受载时杆件产生的弯矩只局限在节点附近区域，杆件可以近似认为是轴力杆，结构可以看作是桁架。这一章将分析轴力杆的应力、应变和变形，轴力杆的强度条件，连接件的强度条件，简单桁架的图5－1节点位移，以及拉压静不定问题。§5－1拉压杆的应力与变形一、拉压杆的应力与变形如图5－2a和b所示，等截面杆在作用于两端的轴向拉力F作用下产生拉伸abc变

2、形。从分离体的平衡条件可知，截面(a)上的轴力FN=F（图5－2c）。那么截面上的应力是怎么分布的？是不是均匀a′b′c′Δl分布？我们需要作进一步的分析。截面labc上应力分布与变形有关。为此，考虑变形前等间距的一系列杆段‘ab’、‘bc’，FF(b)…（图5－2d），这些单元处于相同的受a′b′c′力条件，它们的变形也应相同。假如单σ元‘ab’的aa′截面变形后成为向外凸起的形状（见图5－2d），根据‘ab’单元FFN(c)对自身中间截面的对称性，bb′截面也应abbc向外凸起。‘bc’单元的情况应该与‘ab’相同。可见变形后的几何协调条(d)件被破坏。由此推断，杆件横截面在变a′b′b

3、′c′形后仍然保持为平面，并且与轴线垂图5－2直。这一叙述在许多材料力学教材中称109为平面截面假设（planecross-sectionhypothesis）。在轴向拉压问题中杆件内各点都处于单向应力状态，σ是唯一非零的应力分量。根据平面截面的几何关系可以推断，截面上各点x的轴向正应变为常数。根据单向拉伸的胡克定律可知σ=Eεxx可见截面上应力也为常数，即截面上的正应力为均匀分布力，所以FNσ=（5－1）xA式中A是截面面积。由于各截面的轴力都等于F，所以对于等截面杆，σ沿轴向也是常数。由此，沿轴向x的应变ε也是常数。原长为l的杆的总伸长xlσFlxNΔ=lxεεd=lll===F（5－2

4、）∫xx0EEAEA上式表明拉（压）杆的总伸长量Δl与轴f向力F之间呈线性关系。如果将EAl/F比作弹簧系数，轴力杆件的力学行为与弹簧完全类似。f(δ)二、轴力杆的应变能W,Uδ图5－3所示轴力杆，由于外力f与δ伸长δ成线性关系，假设f=kδ，力ffΔl图5－3在微伸长dδ上做功fdδ。如果最终力达到F时的伸长为Δl，那么力F做的功为ΔΔllklΔ1Wf====∫∫ddδδkδΔlFΔl（5－3）0022外力做功等于图5－3的f()δ曲线下的面积。这部分功全部转换为杆的应变能，即211FlUW==⋅=FlΔ（5－4）22EA三、圣维南原理一般情况下外力将通过夹具、销钉、铆钉、焊接等方式从端部

5、传递给杆件。式（5－1）对于外力F作用点附近的区域并不适用。在F力的作用点附近应力分布并不均匀。然而，只要作用于杆端的分布力的合力的作用线与杆的轴线重合，则可近似地用轴力杆的模型对杆件做力学分析。法国力学家圣维南（Saint-Venant）指出，作用在弹性体某一局部区域内的外力系可以用等效力系来代替，这种代替仅仅对原力系作用区域附近的应力有影响。这就是圣维南原理（Saint-Venant’sprinciple）。对轴力杆来说，外力作用于杆端的方式的不同，只会使与杆端距离不大于杆的横向尺寸的范围内的应力分布受到影响，在较远距离处应力分布不受影响。110图5－4所示的等直矩形截面杆，F以集中力方

6、式作用于杆件端部表面。图上给出了在距离端点h/4、h/2和h处的1－1、2－2和3－3截面上正应力的分布。在1－1截面上最hh/2bh/4123FFh1231σ2σ3F2.575σ1.387σ1.027σ图5－410.198σ20.668σ30.973σ大正应力为2.575倍平均值，应力集中在力的作用点附近。随着与端点的距离增加，应力分布逐渐趋于均匀。在3－3截面上，应力已经基本上均匀分布。例5－1图5－5a所示为一同轴变截面圆杆，所用材料的弹性模量E＝210GPa。已知轴向力F1＝25kN，F2＝45kN，F3＝65kN，长度l1＝l3＝300mm，l2＝400mm。三段圆杆直径依次为d1

7、＝16mm，d2＝20mm，d3＝24mm。求杆的最大正应力σmax，杆的总伸长Δl。解：对图示的结构和载荷情况可以做如下F3F假设：（1）集中力F1，F2，F3表示作用2在A、B、C处的合力，其作用点在截面中AF1DCB心，方向与轴线一致。外载荷具体施加方l3l2l1式及对局部应力分布的影响忽略不计。(a)（2）轴向拉压变形的平面截面假设成立，FN45kN应力和应变逐段均匀分布。25kN先利用分离体平衡条件