资源描述：
《自主招生例题和模拟题解答》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、数域教育自主招生辅导——数学2012年高水平大学自主招生学业能力测试——例题解析专题六排列组合、二项式定理与概率1234561．(10AAA)欲将正六边形的各边和各条对角线都染为种颜色之一，使得以正六边形的任何3个顶点作为顶点的三角形有3种不同颜色的边，并且不同的三角形使用不同的3色组合，则的最小值为……()(A).(B).(C).(D).解基本要素：个顶点,条线，个三角形.首先证明时无法完成符合要求的染色.反证若时能够完成染色，因为共有条线,所以必有一种颜色染了至少3条线.由于这3条线的任何两条
2、都不能成为三角形的两边,因此这3条线无公共顶点(即3条平行线段).又因为含这3条线的三角形共有个(含其中1条线的三角形有4个,且没有三角形含其中2条线),而剩下五种颜色的两色组合只有种,所以这个三角形中必有相同的三色组合,矛盾.其次证明时可以完成染色.方法如下:将六个顶点标记数字,七种颜色对应数字.若线的顶点是数字,则将该线染为模的余数所对应的颜色.可以验证这样的染色符合要求.2．对于一个四位数,其各位数字至多有两个不同,试求共有多少个这种四位数?解1)若四个数字全相同，这样的四位数有9个；2)若
3、恰有两个数字不同，设为.当都不为0时，其中千位数字为的四位数有(个),有个；当有一个为0时，有个.综上知：所求的四位数共有个.3．(09浙大)的排列具有性质:对于，不构成的某个排列.求这种排列的个数.解显见.当时，个排列符合要求；当时，的排列不符合要求，符合要求的排列有个；当时，和的排列不符合要求，符合要求的排列有个当时，，，，，的排列不符合要求，符合要求的排列有.综上知：满足要求的排列数有：个.共6页第6页数域教育自主招生辅导——数学1．(11AAA)将一枚均匀的硬币连续抛次，以表示未出现连续3
4、次正面的概率.(1)求和；(2)探究数列的递推公式，并给出证明；(3)讨论数列的单调性及其极限，并阐述该极限的概率意义.解(1)显然,,故.当时,出现连续3次正面的情况是：前3次正面,第4次反面；第1次反面,后3次正面；4次正面,故,从而.(2)当时,考察.欲使抛次时出现连续3次正面,则或者前次已经出现连续3次正面（概率为）,或者是虽前次没有出现连续3次正面,但抛第次时出现连续3次正面.此时,前次未出现连续3次正面,最后3次为反、正、正,第次为正(概率为).于是,即.(3)显见数列单调下降且,于是
5、存在.由上式知,故,即.该极限的概率意义是：随着抛硬币的次数趋于无穷，不出现连续3次正面的概率为(趋于)0,即必定会出现连续3次正面.2．(10清华)把长为的火柴棍(看成线段)完全随机地投在间距为的互相平行的若干直线上(平行线足够多).1)求火柴棍与平行线相交的概率；2)若要使该概率的倒数为,求与的比值.解一引理曲线与平行线交点个数的期望值与曲线的长度成正比.由于半径为的圆周与平行线的交点个数为2，因此长度为的曲线与平行线交点个数的期望值为2.据引理，长度为的曲线与平行线交点个数期望值为.1)当时
6、，线段与平行线至多有2个交点.设有0，1，2个交点的概率分别为.由于，根据可得.2)由知，.共6页第6页数域教育自主招生辅导——数学ayp/2d/2y=(lsina)/2解二记线段中点到最近平行线的距离为，线段与平行线的夹角为，则有，.线段与平行线相交当且仅当，故有交点的概率.1．(10清华)12个人玩一个游戏,游戏开始后每个人被随机地戴上红、黄、蓝、绿四种颜色之一的帽子,每个人可以看到其余11个人帽子的颜色,但不能看到自己帽子的颜色,游戏开始后12个人不能再交流,并被要求猜出自己帽子的颜色.请为
7、这12个人在游戏前商定一个方案,使得他们同时猜对自己头上帽子颜色的概率尽可能大.解将红、黄、蓝、绿四种颜色分别用数字0、1、2、3代替.策略是:每个人将其余11人帽子颜色所对应的数字求和,设为S.记S除以4的余数为d,再把4-dmod4所得数字对应的颜色猜为自己所戴帽子的颜色.这样的策略使得同时猜对头上帽子颜色的概率为1/4.这是因为当且仅当12人帽子颜色所代表的数字之和为4的倍数时,12人能够同时猜对.否则12人会同时猜错.而随机取12个0,1,2,3中的数字,其和为4的倍数的概率为1/4.当多
8、人猜测时,由于不能由他人帽子的颜色推断出有关自己帽子颜色的信息,因此12人同时猜对的概率不大于单独1人猜对的概率,即1/4.因此上述方案是最优的.专题五的三道几何题BAOxy1．(08交大)抛物线()的上半支()与圆相交于、两点,直线恰好将线段等分,求的值.解设，，则.于是，.因此，，，.由于，因此，(舍去+号情形).共6页第6页数域教育自主招生辅导——数学1．将3个12cm×12cm的正方形沿邻边的中点剪开，分成两部分(如图4)，将这6部分接于一个边长为的正六边形上(如图5)，若
