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1、22物理与工程Vol.14No.22004有限长通电螺线管空间的磁场分布惠小强陈文学(西安邮电学院应用数理系,陕西西安710061)(收稿日期:2003-08-03;修回日期:2003-10-18)摘要本文计算了有限长通电螺线管空间的磁感应强度分布,给出了解析表达式,并绘出了它们的空间分布图.关键词叠加原理;椭圆积分THEMAGNETICFIELDOFLIMITEDSOLENOIDWITHELECTRICCURRENTXiXiaoqiangChenWenxue(DepartmentoftheAppliedMat
2、hematicsandPhysics,Xi'anInstituteofPostsandTelecommunications,Xi'an710061)AbstractWecalculatedthedistributionofmagneticfieldoflimitedsolenoidwithelectriccurrent,itsanalyticexpressionandthedistributingdiagramsarealsoshown.KeyWordssuperpositionprinciple;ellips
3、eintegral有限长通电螺线管在一些工程问题中有重要[1,2]的应用.教科书上讨论通电螺线管的磁场分布问题时只考虑两种情形:一是轴线上的磁场分布,二是无限长时的空间分布(内部为匀强磁场),与[1,3]实际的应用有一些距离.一些参考文献讨论过有限长通电螺线管空间的磁场分布,但普适性不是很好.利用本文的方法,可以较容易地计算有限长通电螺线管空间的磁场分布.设有限长通电螺线管的半径为R,长度为L,单位长度的匝数为n,电流为I,如图1所示放置螺线管(直角坐标系),由于螺线管具有对称性,故图1螺线管位置图只需计算yO
4、z平面内磁场的分布,且y、z分量分别是径向和轴向分量.ππI′dl=I′Rdθcosθ+i+sinθ+j在yOz平面内取点P(0,y0,z0),在z轴上z22处截得厚度为dz的环,该环的电流为I′=nldz,=I′Rdθ[-sinθi+cosθj](1)在该环上图示的位置B(Rcos(θ),Rsin(θ),z)处电流元I′dl到点P的位置矢量r为取电流元I′dlr=-Rcosθi+(y0-Rsinθ)j+(z0-z)k(2)陕西省教育厅专项(03JK062)资助,西安邮电学院中青年基金(ZL1050401)资助
5、23物理与工程Vol.14No.22004根据比萨定律可以写出电流元I′dl在点P产生的磁感应强度dBμ0I′dl×rnμ0Idl×rdB=·3=·3dz(3)4πr4πr其中r=222(Rcosθ)+(y0-Rsinθ)+(z0-z).利用矢量的乘法可以分别算得磁感应强度dB的yOz平面上的三个分量图2固定的z值,径向分量By与径向坐标的关系nμ0IRcosθ(z0-z)dBx=·3dzdθ(4)4πrnμ0IRsinθ(z0-z)dBy=·3dzdθ(5)4πrnμ0IR(R-y0sinθ)dBz=·3dz
6、dθ(6)4πr对(4)、(5)、(6)式分别作二重积分,可以得到螺线管在P点的磁感应强度的三个分量图3固定的y值,径向分量By与轴向坐标的关系Bx=∫dBx计算轴向分量Bz时,由于椭圆积分的变量超nμ0I2πLRcosθ(z0-z)=3dzdθ(7)出了数值计算的范围,不能直接用积分结果画图,4π∫0∫0r所以与径向分量By的处理略有不同.先对管长积By=dBy∫分得到f(θ)dθ,然后把圆周分为200份,对nμ0I2πLRsinθ(z0-z)f(θ)dθ求和得到Bz,用Mathematica画出轴向分=3d
7、zdθ(8)4π∫0∫0r量Bz随坐标y,z的变化,见图4和图5.Bz=∫dBznμ0I2πLR(R-y0sinθ)=3dzdθ(9)4π∫0∫0r由于z和θ之间相互无关,上面的三个积分较容易处理,Bx的积分结果为零,By(0,y0,z0)、Bz(0,y0,z0)不为零,而且它们分别代表螺线管磁场的径向和轴向分量.给出螺线管的半径R和长度L,利用Mathematica数学软件可以定量地计算图4固定的z值,轴向分量Bz与径向坐标的关系磁感应强度的空间分布.请看下面的例子:令螺线管的半径R=10,长度L=20,先用
8、Mathematica对管长和圆周积分计算By,在结果中含有椭圆积分的第一种形式和完全椭圆积分的第二种形式,再利用Mathematica画出径向分量By随坐标y,z(此处的y,z即图1中的y0,z0,下同)的变化,见图2和图3.对固定的z值,径向分量By(y)由轴线向外先增加再减小,在管壁处最大;对固定的y值,径向分量By(z)在螺线管的两端最大,而且方向相图5固定的y值,轴向分量Bz
