第一讲 数的整除(1)

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1、第一讲数的整除(1)【典型例题1】试证明“三个连续的正整数之和能被3整除”。解析：我们可设a为大于1的正整数，那么和它相邻的两个整数为a－1和a＋1，这三个数之和为a－1＋a＋a＋1＝3a，所以我们可以说三个连续的正整数之和一定能被3整除。【知识点】1、整数和整除的意义整除：整数除以整数，如果除得的商是整数而余数为零，就说能被整除；或者说能整除。注意整除的条件：(1)除数、被除数都是整数；(2)被除数除以除数，商是整数而且余数为零。2、自然数和整数零和正整数统称为自然数．正整数．零和负整数统称为整数.【基本习题限时训练】1、下列算式中表示整除的算式是（

2、）（A）9÷18＝0.5（B）6÷2＝3（C）15÷4＝3……3（D）0.9÷0.3＝3【解】B2、下列各组数中，均为自然数的是（）（A）1.1，1.2，1.3（B）-1，-2，-3（C），，（D）2，4，6【解】D3、下列说法正确的是……………………………………………………（）（A）最小的整数是0（B）最小的正整数是1（C）没有最大的负整数（D）最小的自然数是14、判断：（1）零是整数，但不是自然数；（2）-1是最大的负整数；（3），则4能被32整除；（4）整数中没有最大的数，也没有最小的数。【解】（1）不正确。零是整数，也是自然数；（2）正确（3）

3、不正确。应该是32能被4整除；（4）正确5、13、24、57、88四个数中能被2整除的数有哪几个？【解】四个数中能被2整除的数有24、88，共两个。6、正整数36能被正整数整除，写出所有符合条件的正整数。【解】可以是1，2，3，4，6，9，12，18，36.【拓展题】1、三个连续自然数的和是306，求这三个自然数。【解】设相邻的三个奇数分别为（n为大于1的正整数），根据题意建立方程，求得方程的解，这三个自然数为101，102，103.点评：此题主要考查的知识点整数的表示方法。此题也可设这三个连续自然数为2、能被3整除的正整数各数位上数的和能被3整除。解

4、析：设这个三位数为，则各个数位之和为，根据题意可设，则所以当一个整数的各个数位上的和能被3整除，那么这个数能被3整除。点评：此题考查了数的整除，也介绍了三位数的表示方法。【典型例题2】能被18整除的数的因数至少有几个？为什么？解析：6个，因为能被18整除的数可以表示为18n(n=1,2,3…)，它们的因数至少有1，2，3，6，9，18，18n（n>1时），当n=1时因数最少，有6个点评：此题对应的方法，分析易错点，考查知识点，注意点。【知识点】因数和倍数整数能被整数整除，就叫做的倍数，就叫做的因数(也称为约数)【基本习题限时训练】1、下列说法正确的是（

5、）（A）1没有因数，也没有倍数（B）一个整数的因数的个数有限(C)一个整数的倍数的个数有限（D）6的因数只有2和3【解】B2、在80以内，24的因数和倍数分别有（）（A）2，3，4，6，8，12；48，72（B）2，3，4，6，8，12，48，72（C）1，2，3，4，6，8，12，24，48，72（D）1，2，3，4，6，8，12，24;24，48，72【解】D3、24的因数有（）个。（A）6　　　　　　　　（B）只有1和本身（C）无数多个　　　　　　　　（D）8【解】D4、100以内(不包括100)5的倍数有（）个。（A）10（B）18（C）19（

6、D）【解】D5、一个数既是30的倍数，又是120的因数。下列说法中，正确的是（）。（A）这样的数只有一个　　（B）这样的数有限个。（C）这样的数有无数多个（D）这样的数不存在【解】B6、能被48整除的数一定是下列（）的倍数。（A）18（B）24（C）36（D）96【解】B7、正整数a既是甲的倍数，又是乙的因数。下列说法中，正确的是（）。（A）甲乙两数大小相等　　　（B）甲小于乙（C）甲是乙的因数　　　（D）乙是甲的因数【解】C8、填空：50以内7的倍数有【解】50以内7的倍数有7、14、21、28、35、42、49。9、对于任意整数m，有没有最大或最小

7、的因数，如果有，它们各是什么数？解析：根据因数的概念我们可以知道整数m的因数是有限个，它存在最大和最小的因数．【解】最大m,最小是1。【典型例题3】用0、1、5、6四个数字，按要求排成没有重复数字的四位数：（1）能被3整除，但不能被5整除。（2）能被2整除，但不能被5整除。（3）既能被3整除，又能被5整除。（4）能同时被2、3、5整除。解析：因为能够被2整除的数的个位上是0，2，4，6，8，能够被5整除的数的个位是0或5，若一个数各数位上的数字之和能被3整除，那么这个数就能被3整除．结合上述特点归纳得到满足条件的数。解：（1）满足条件的数的个位数字是1

8、或6；（2）满足条件的数的个位数字是6；（3）满足条件的数的个位数字是0或5；（4）满足条件的