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1、论文题目：恒等变形，巧能生快道数学考试题所引发的思考作者姓名陈会鹏性别：男参评学科数学出生年月：1967年7月15日籍贯：陕西省西安市周至县职称（职务）：中学二级数学教师工作单位：周至县马召镇以群中学详细通讯地址：周至县马召镇四群中学联系电话：13759931425邮政编码：710401恒等变形，巧能生快道数学考试题所引发的思考论文摘要：恒等变形、求值、化简、证明、换元法、降次求解法、整体代入法、消元法、设参变形法。关键词：恒等变形、巧能生快、化繁为简、化难为易、整体分解、信息交合、创新意识、实践能力。八年级下册期中考试题集中，有一道证明题：已知abc=1,求证：—+=使不少学生望而
2、却步，因之此题成为较难ab+a+Z?c+/?+lac+c+1的代数式证明问题，实际上这就涉及到代数式的恒等变形，要应用到整式、分式的四则运算，因式分解等综合知识，善于观察，善于联想，才能发现规律，找到巧妙的解题思路和方法，避免思维回路，力求解题过程简捷明快。两个代数式，如果对于字母的一切许可值它们的值都相等，就说这两个代数式恒等，把一个代数式变形成另一个和它恒等的代数式，叫做代数式的恒等变形，恒等变形的应用非常广泛且很灵活，教学中应分不同类型题目特点，具体问题，具体分析，充分利用条件，“巧”用变形的技巧，化繁为简，化难为易，培养学生的创新意识和解题能力。下面仅举几例说明恒等变形在代
3、数式的求值、解方程及恒等式证明中的作用。一、求值1、无附加条件的代数式求值，此类题多以化简、计算题目出现。2/F例1:化简：Q+Z+笛心*2a/6(V2+V3-75)原式=(血+般)2—丽2=(V2+V3)2-(V5)2因为：2拆=2+2拆+3-5=(V2+73)2-(75)2=V2+V3-V5所以:原式二(血+能+亦)(血+侖")(V2+V3+V5)=(72+73+75)(72+73-75)二V24-V3—V511a2x+3xy-2y2、有条件的代数式求值：例2若厂厂3,求匸击的值yx_3_5解法1:（用整体代入法解）2x+3xy-2『_(2兀+3xy-2y)十xyx-y-2xy(
4、x-y-2xy)^xy解法2：（化“分式”为整式，代入求解）由已知，得y-x=3xy,所以2x+3xy-2y_3xy-2(y-x)_3xy-6xy_3兀一y—2xy-2xy-(y-x)-2xy_3xy5解法3:（降次求解法）由已知，得y—x=故小=丄（y_x）,所以2兀+3小一2yx-y-2xy2x+(y-x)-2yx-yx—y--(y-x)例3：已知x=V3+l,求x3-x2-x的值（升次变形，代入求值法）解：
5、±
6、x=V3+1得，x-1=V3?平方得：%2-2x+l=3所以：—2x=2得:兀3—兀2——兀(无一—2%)+兀-_X,=2x+x2—2x+x=3x+2=3^/3+53、
7、解复杂的分式方程:例4：解方程：仝±1+土=丄+兰±
8、（化繁为简,分子变形降次法）x+2x+7x+3x+6分析：原方程若对整个分式方程进行通分去分母，则出现高次方程,难以求解。不如方程中各项分别变形，使分子降次简化，再两边分别通分，方程便迎刃而解了。解：原方程变形为:x+2—1x+7—1x+3-1x+6—11=1x+2兀+7兀+3兀+61111x+2X+3x+6x+7即化简为:方程两边分别通分为:11(%+2)(%+3)(%+6)(%+7)根据两个分式相等，且分子相等值为常数，则分母必然相等得:(x+2)(x+3)=(x+6)(x+7)整理为：8x=-36解得:9x=——经检验:9x
9、=——是原方程的解。二、恒等式的证明：1、绝对恒等式的证明：一般宜选用“由繁到简”方法证明，也可以用“两边凑法”或比较法、换元法等。例5：求证：(d+b+c+d)2—(d+b—c—d)2二4(o+b)(c+d)证法1:(由繁到简)J~r,~(q+/?+c+d+ci+b—c—d)(d+b+c+〃—ci—Z?+c+d)-2(a+b)•2(c+d)=4(g+b)(c+d)二右边所以：原式成立证法2:(换兀法)令x=a+b,y=c+d,贝tl原式左二(x+y)2-(x-y)2-4xy=4(a+h)(c+d)二右所以：原式成立2、条件恒等式的证明：除具有绝对恒等式的证法外，还要充分充分附加条件
10、，常用的是代入法和消元法。例6:已知实数4、b、C满足°二6-方①，以c2=ah-9②，求证：a=b证法1:由已知有a--b=6,ah=c2+9由根与系数关系可知，以°、b为根的一元二次方程是x2-6x+c2+9=0oo{0c2>0,只有c?=0,从而△二0.故方程有两相等实根d,方。得证g二方ra+b=6证法2：由已知有JIah=c2+9Affi]0<(a-b)2=(a+b)2-4ab=36-4(c2+9)
