数学研究性学习报告_

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1、研究性学习报告——探索勾股定理什么是勾股定理。在我国古代，把直角三角形叫做勾股形。如图:如图1,我国古代一般都把頁角三角形屮，短的一条頁角边叫做“勾”，长的一条肓角边叫做“股”，斜边叫做“弦”。所以，我国古代把白角边与斜边关系所形成的定理，叫做勾股定理(a2+b2=c2)图(2)屮的肓角三角形ABC屮，设勾AB二3,股BC=4,弦AC二5。按照勾股定理，三条边的关系为：32+42=52所以如果把一个直角三角形的两条直角边分别记为3、b,把斜边记为c,那么它们之间的关系式是:a2+b2=c2即在任何一个直角三角形屮，两条直角

2、边的平方之和一定等于斜边的平方。这就是我国最古老的数学书籍《周髀算经》（约成书于公元询一世纪左右）一开始就指出的：“勾三、股四、弦五”。这是直角三角形的三条边长都是整数时的例证。古希腊数学家毕达哥拉斯也证明了这个定理。所以在国外，常把这个定理称为毕达哥拉斯定理。勾股定理在中国又称为〃商高定理〃，在外国称为〃毕达哥拉斯定理〃。为什么一个定理有这么多名称呢？商高是公元前十一世纪的中国人。当时中国的朝代是西周，是奴隶社会时期。在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话。商高说：〃…故折矩，勾广

3、三，股修四，经隅五。〃什么是〃勾、股〃呢？在屮国古代，人们把弯曲成直角的手秤的上半部分称为〃勾〃，山于勾股定理的内容最早见于商高的话屮，所以人们就把这个定理叫作〃商高定理〃。毕达哥拉斯是古希胎数学家，他是公元前五世纪的人，比商高晩出牛五白多年。希腊另一位数学家欧儿里徳（Euclid,是公元前三百年左右）在编著《儿何原本》时，认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，所以他就把这个定理称为〃毕达哥拉斯定理〃，以后就流传开了。勾股定理的应用非常广泛。我国战国时期另一部古籍《路史后记十二注》屮就有这样的记载：〃禹治洪水决流江河，望山川

4、之形，定高下之势，除滔天之灾，使注东海，无漫溺之患,此勾股之所系生也。〃这段话的意思是说：大禹为了治理洪水，使不决流江河，根据地势高低,决定水流走向，因势利导，使洪水注入海中，不再有大水漫溺的灾害，是应川勾股定理的结果。二、勾股定理的验证。1.我国历代数学家关于勾股定理的论证。我国历代数学家关于勾股定理的论证方法有多种，为勾股定理作的图注也不少，其屮较早的是赵爽（即赵君卿）在他附于《周髀算经》Z屮的论文《勾股圆方图注》屮的证明。采用的是割补法：将四个玄角三角形涂上朱色，把屮间小止方形涂上黄色，叫做屮黄实，以弦为边的止方形称

5、为弦实，然后经过拼补搭配，“令出入相补，各从其类”，他肯定了勾股弦三者的关系是符合勾股定理的。即“勾股各白乘，并Z为弦实，开方除Z,即弦也”。赵爽对勾股定理的证明，显示了我国数学家高超的证题思想，较为简明、直观。2.利川现在的方法也能证明勾股定理。如图⑶：延长CB到H,使CH=AB,以C为顶点，CH为一边，作ZGCH=ZCAB,且使CG=AC,以AC,CG为两边,过G做GD〃AC,过A做AD〃CG,再过D点作DE丄AB于E,过G做GF丄DE与FVZGCII=ZCAB,ZABC二90AZCAB+ZACB=90ZGCH+ZAC

6、B二90既：ZACG=90又・.・GD〃AC,AD〃CG,JICG二AC・・・四边形ACGD为正方形.・・・AC=CG二GD二AD,ZACG=ZCGD=ZADG=ZCAD.•・・【）E丄AB,ZB二90,・・・DE〃CH,・・・CH丄GF于H・•・ZHGC+ZHCG二90・・・ZACB+ZIICG二90・・・ZHGC二ZACB.・・・可得：AABC竺ACHG同理可证得：△ABC9zCHG9AGFD9zXI)EA・•・CH二GF二DE二AB,DF二AE二BC二GHAEF=FH=HB=EB・・・四边形EFIIB为菱形又IGF

7、丄DE・・・四边形EFHB为止方形设CH二GF二DE二AB二a,DF二AE二BC二GH二b,AC二CG二GD二AD二c・；S正方形efhb=(a—b)2=S正方形acgd—4•Smcb=c2—2ab整理：a2-2ab+b2=c2-2aba2+b2=c2H!tAB2+BC2=AC2三、名人与勾股定理。毕达哥拉斯在古希肥早期的数学家中，毕达哥拉斯的影响是最大的。他那传奇般的一生给后代附下了众多神奇的传说。毕达哥拉斯生于萨摩斯（今希腊东部小岛），卒于他林敦（今意犬利南部塔兰托）。他既是書学家、数学家，乂是天文学家。他

8、在年轻时，根据当时富家子弟的惯例，他曾到巴比伦和埃及去游学，因而玄接受到东方文明的熏陶。冋国后，毕达哥拉斯创建了政治、宗教、数学合一的秘密学术团体，这个I才I体被后人称为毕达哥拉斯学派。这个学派的活动都是秘密的,笼罩着一种不可思议的神秘气氛。据说，每个新入学的学生都得宣誓严守秘密，并终身只加入这一学派。