角平分线的性质(上课)

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1、16.3角的平分线AOBC确定角平分线不借助工具，你能将一张纸片上的∠AOB分成相等的两个角吗？请试一试.方法：折叠AOBC如果这个角不能折叠怎么办？确定角平分线如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC=DC。使用方法：将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线.原理分析：你能说明它的道理吗?ADBCE确定角平分线证明：∵AD=AB，DC=BC，AC=AC（已知）∴△ACD≌△ACB（SSS）∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的对应边相等）∴AC平分∠DAB（角平分线定义）ADBCE确定角平分线——推理根据角平分仪的制作原理，你能用直尺和圆规

2、作一个角平分线吗？请试一试.OABCENOMCENM确定角平分线——应用AOBC实验：1.在角平分线OC上任取一点P；2.借助三角板的直角边，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E.PDEPD与PE有怎样的数量关系？猜想：PD=PE.你有哪些办法说明我们的猜想是正确的？（两种或两种以上方法）角平分线的性质——实验、猜想、验证定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等用符号语言表示为：∵∠1=∠2，PD⊥OA，PE⊥OB∴PD=PE.AOBCPDE12角平分线的性质——概括条件：（1）角的平分线；（2）点在该平分线上；（3）垂直距离。结论：垂线段相等证明:∵OC平分∠AOB（已知）∴

3、∠1=∠2（角平分线定义）∵PD⊥OA，PE⊥OB（已知）∴∠PDO=∠PEO=90°（垂直定义）∵OP=OP（公共边）∴△PDO≌△PEO（AAS）∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）AOBCPDE12已知，OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D,E已知OP平分∠MON，点A、点B分别在边OM、ON上.（1）如图1，若∠OAP=∠OBP=90°，AP等于PB吗？请说明理由；MNOPAB图1（2）如图2，若∠OAP=∠OBP=110°，（1）中的结论还成立吗？请说明理由.MNOPAB图2角平分线的性质——理解在上面的基础上，添加哪些条件还可以

4、使PA=PB成立？请试一试.我们添加的这些条件，有什么相同之处吗？小结：1.角是轴对称图形，角平分线所在直线是角的对称轴；2.可以用全等三角形的知识研究角平分线的性质.∵AD平分∠BAC,DC⊥AC，DB⊥AB（已知）∴=，（）DBDC角平分线上任意一点到这个角的两边的距离相等。√不必再证全等1、∵∠1=∠2,DC⊥AC,DE⊥AB∴___________(___________________________________________)ACDEB12DC=DE角平分线上任意一点到角的两边的距离相等2、判断题（）∵如图，AD平分∠BAC（已知）∴BD=DC，()角平分线上任意一点

5、到角的两边的距离相等。×ABCEFD1.已知：如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F.判断下列结论是否正确：(1)DE=DF.（）(2)BD=CD.（）(3)AD上任一点到AB、AC的距离相等.（）(4)AD上任一点到点B、C的距离相等.()√√√√2.已知，如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交CD、CB于点E、F,FG⊥AB,垂足为G.求证：CE=FG.CADEFGB如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠CAB的角平分线，DE⊥AB于点E，BC=8，BD=5，求DE。ABCDE12证明：∵∠C=90

6、°∴DC⊥AC又∵AD是∠CAB的角平分线、DE⊥AB∴CD=DE（角平分线上任意一点到角的两边的距离相等．）又∵BC=8，BD=5∴CD=BC－BD=8－5=3∴DE=3（1）写出角平分线的性质定理的逆命题（2）根据这个逆命题的内容，画出图形（3）结合图形，提出你对这个逆命题是否正确的猜想（4）验证你的猜想角的平分线上的点到角的两边的距离相等逆命题：到一个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE．求证：点Q在∠AOB的平分线上．证明:连结OP并延长∵QD⊥OA，QE⊥OB（已知），∴∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直的定义）

7、在Rt△QDO和Rt△QEO中QO＝QO（公共边）QD＝QE(已知)∠QOD＝∠QOE∴Rt△QDO≌Rt△QEO∴∠QOD＝∠QOE∴点Q在∠AOB的平分线上判定：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。∵QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE∴点Q在∠AOB的平分线上．用数学语言表示为：性质：角平分线上任意一点到角的两边的距离相等.∵QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上∴QD＝QE用数学语言表示为：1.已知：如图