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1、冯苗毕业论文函数项级数一致收敛的判别方法作考冯苗指导教师李秀兰摘要本文除了给出判别函数项级数一致收敛的几种常用方法，另外又给岀了两种特殊的方法，其中方法二是对维尔斯特拉斯判别法的条件进行了修改，对于优级数的要求不局限丁收敛的正项级数，只要找出一个符合条件的函数，就可以判别出函数项级数在区间上是一致收敛的.方法六是给出了一类交错型函数项级数一致收敛的判别法.关键词一致收敛性；绝対收敛；交错级数一引言对于函数项级数,研究和函数的解析性质至关巫要.比如能由函数项级数的逐项收敛、町微、可积可以判断出和函数的连续性、可微性、可积性.尤其和函数不容易求出或根本求
2、不出时，上述性质就显得更加重要•这些对函数项级数的收敛性提出更高的要求，即函数项级数必须具有-•致收敛性，而判别函数项级数的一致收敛性往往是比较因难的.一•般的判别法有维尔斯特拉斯判别法，阿贝尔判别法，狄利克雷判別法和狄尼定理.本文乂介绍了两种特殊方法，一种是对维尔斯特拉斯判别法的条件进行了修改，只要找出一个符合条件的函数就可以了，而不是收敛的正项级数，另一种给出了一类交错型函数项级数的一致收敛判别方法.二萌数项级数一致收敛的几种方法判别法一维尔斯特拉斯判别法也称为M判别法或优级数判别法设函数项级数unx定义在数集D上，Mn为收敛的止项级数，若对于一
3、切xD,nIn1有unxMn,n1,2,则函数项级数unx在D上一致收敛.例1讨论级数xnn1!在乂r,r上的敛散性.1证对于任意的xr,r,都有Xnn1!而级数rnrnn1!n1!是收敛的，所以根据维尔斯特拉斯判别法知级数xnn1!在xr,r.上一致收敛.判别法二设函数项级数unx定义在数集D上,存在一个函数fxdfdx22在x0处存在且f01f00,若对一切xD有unxf,n1,2,n则函数项级数unx在D上一致收敛.n1证对于函数fX,冇limx0dfdx22在x0处存在且f0f00,令0t1,则f(x)limf(x)x1tlimx0f(x)f
4、(0)x0(1t)xtX1tf(0)1tlimxx01t0即1fn11tlim乂因为广义调和级数n1In1t是收敛的，因而由比较原则知f是收敛的，则根据维尔n11n斯特拉斯判别法，我们得到函数项级数unx在D上一致收敛.n1此定理把维尔斯特拉斯判别法的条件进行了修改，对于其中的优级数，使之不局限于耍找出收敛的正项级数•下而就此定理的应用举几个例了：2例2讨论级数n1sinnxn2在区间0,1上的敛散性.分析对于此级数我们可以用维尔斯特拉斯判别法进行证明，即找到收敛的正项级数nlln2,使得sinnxn2ln2.同时也可以应用判别法二证明，考虑函数fx
5、x2,fx在x0sinnxn2处二阶导数存在，且f0f00,又有1f，故级数在区间0,1上一•致收敛.例1中的级数很容易就找到收敛的正项级数an,使得unxan.但如果碰到一些不n1容易找到收敛的正项级数使之成立时，我们就可以考虑用判别法二來证明.例3讨论级数nlxcosxnlIn1在0,1上的敛散性.n分析对于此级数我们町以考虑函数fxxIn1x解对于函数fXxIn1x在x0处有二阶导数存在，且f0f00,又有xcosxn111二知级数1In1In1fnnnn故由判别法nlxcosxnlIn1在0,1上是一致收敛的.n判别法三阿贝耳判別法设(I)u
6、nx在区间I上一致收敛；(II)对于每一个xI,vnx是单调的；(HI)vnx在I上-•致有界，即对一切xT和正整数n,存在正数M,使得vnxM则级数unxvnx在I上一致收敛.例4讨论函数项级数1xnnnInn在0,1上一致收敛性.3证记unx1nnx,vnx1,nn由莱布尼茨判别法知：unx在0,1上一致收敛.nx对于每一个X0,1,1n1是单调递增的，且最人值为1nnnx所以1n11ennnnx所以1ne所以vnx在I上一致冇界，由阿贝耳判别法知级数判别法四狄利克雷判别法设(I)unx的部分和函数列Unx(II)对于每一个xI(III)在I1x
7、nnnInn在0,1上一致收敛.uxn1,2在I上一致有界；kkIn,vnx是单调的；上vnx--致收敛于0n则函数项级数unxvnx在I上一致收敛.例5讨论函数项级数nlcosnxn在区间D0,2上的敛散性.证在0,2上冇1sinnxnl11112coskxxx222k12sin2sin2sin222所以级数cosnx的部分和函数列在0,2上一致有界.对于xI,是单调递减且在I上n1In--致收敛于0n4于是令xI,vnxIn，则由狄利克雷判别法知n1cosnxn在区间D0,2上一致收敛判别三、四多用于判别定义在区间I上形如UXVXUXVXUXVX
8、nn1122的函数项级数的一致收敛性.判别法五狄尼定理在a,b上收敛于连续函数设unx0,在a,b上连续，n
