$qsq$学年论文

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1、分块矩阵的应用吴文翔（数学与应用数学2009级学号09003029）摘要：通过初等变换来求行列式、逆矩阵及矩阵的秩中的具体应用，说明了分块矩阵的初等变换能简洁、快速的解决一些矩阵问题，而且该方法易理解和掌握，并给出了用分块矩阵的块初等变换来求一个可逆分块矩阵的逆矩阵的常见方法。关键词：分块矩阵；初等变换；块初等变换；分块初等矩阵1.分块矩阵的初等变换及应用1.1求解行列式利用行列式计算的性质，可推得分块矩阵A经三种初等变换后，与所得分块矩阵£,%,爲的行列式之间满足下列关系:同，当st为偶数时-

2、a

3、,当st为奇数时其中S,t为变换的两行（列）中所含子块的行（列

4、）数;（2）A2=P\A,其中矩阵P为左（右）乘某_行（列）中所含子块的行（列）数;（3）

5、a3

6、=

7、a

8、,即第三种初等变换不改变分块矩阵的行列式。利用这些结果，再加上由拉普拉斯定理得出的一个结论

9、4

10、

11、B

12、,会使许多行列式的证明与计算变得非常简单。例1已知A,B均为n阶方阵，求证=a-^b\a-bAB~r+r2vA+BB+AC2-5BABA证明因为0A-BABA+B0BABA-B-a+b\a-b.所以设分块矩阵M=,B与C分别为mxh,nxm可逆矩阵,求

13、M

14、・AB「AC%、0B-AC-lDr^r2vcDCDcD/0B_ACT'D因为

15、M所以c0•即M=(-i)mnC^B-AC'[D例3BeF,nxAeFmx证明:E-AB=E-BA'E0、(EA、(EA、(E-A)(EA、#E-AB0、-bo,,BE)

16、0B0B0BAA+B•即得R(A^B)R(AB)+R(BC)一R(B).'ABC0_~AB0_R=R_0B-BBC所以则冇R(ABC)+R(B)>R(AB)+R(BC).因为ABC0_ABCAB'0B0B证明■0AB~C05<~AB0_(-E)h、~AB0_-BCBB-BC/-BBC即R(ABC)>R(AB)+R(BC)-R(B).这个结论就是著名的Frobenious不等式。推论1若A,B分别为mxn.nxs矩阵,则R(AB)>R(A)+证明设E为n阶单位矩阵，则由定理2知，R(

17、AB)AR(A)+R(B)-几特别地当AB=0吋，由推论1或者由分块矩阵的初等变换：~A0~rAr20-AB~AR=0》00_EB_EBE0_可得到线性代数中一•个重要的结论：R(A)+R(B)

18、初進换人齐，因此，对于分块矩阵求逆，也可以采用分块矩阵的初等变换來求，卞血就通过具体例子來说明'A+E0、‘A+EA?+A、'A+E24、(E2A、T—T<0<00丿

19、o>例4证明：若n阶方阵A满足川二人则A+E可逆.证明:故r(A+E)=n,故4+E可逆.例5设分块矩阵M，其中A,分别为mxrn,mxn,nxm.〃x兀矩阵,若A与D-CA1B都可逆，求M".由于~AB~~AB「(D-CA'lBr[h、CD_r0D-CA~}B/解ABE0宀〉0E—(£>—D-CA']BA0E+B(D-CA~[BY[CA~l-B(D-CA~lByl宀、0E-(D-CA~]BY}CA'1(D-CA~]B)~lJE0A-1+A'}B(D-CA-'BY'CA~l_人一労(0_04」3)一厂0E-(D-CA~lBy1CA~l(D-CA-lBYl

20、所以A~]+A-]B(D-CA~lBYlCA~'-(D-CA-[BY'CA~'-A-}B(D-CA]BYX(D-CA-lBy}特别地，当B",C=O时，则oz当〃工0,C=0时，则M~]=~A~r-A^BD'1・0D'1当b=o,chO时，则M~l=A-10_-D'CA'1D]这与先设出分块矩阵的逆矩阵，再rh相乘结果列出矩阵方程，再求解矩阵方程的方法相比较，该方法宜接，不易岀错，而且便于检杏，特别是当矩阵中含有人量零元素时，这种方法的优越性就更加显著。1.可逆分块矩阵的逆矩阵的简便方法设A是一个n阶可逆分块矩阵，先作一个〃x2斤的分块矩阵(4,E),且对E施与

21、相同的分法，然后对(A,