分类讨论研究函数单调性

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1、19、(本小题满分14分)讨论函数/(x)=x+-+lnx的单调性.Xa19、解：函数f(x)=x+-+lnx的定乂域为(0,+oo)・x•宀、.a1x1+x-ci…j(x)=l一一+-=——3—•X"XX%1当A=1+4(7<0,即aS-丄时，得x24-x-a>0,则/(兀)》0・4・•・函数/⑴在(o,+8)上单调递增.……5分%1当A=1+4q〉0,即°>一丄时，令八兀)=0得x2+x-a=0,4解得/-Eg-i+vn石2厶2(i)若--<^0,函数/(x)在(0,+00)上单调递增.…

2、…10分(ii)若°〉o,则兀wo,时，/(x)<0；"一1+J1+4q、2，+°°/时，八x)〉0,12分函数/(X)在区间-1+J1+4。、I，2;/上单调递减，在区间J+加石,+J上单调递增./13分调递增区间为'一1+Jl+4a、,+oc•14分2综上所述，当心。时，函数/•⑴的单调递增区间为(0,+oo)；当。〉o时，函数/⑴的单调递减区间为作业：2.(2011年高考湖南卷文科22第(1)题)讨论函数f(x)=x-丄一qInx(agR).的单调性.JC解:f(x)的定义域为(0,4-0)).2“、(1ax-ax+.厂(x)=l+p——=—

3、—5X〜Xx~令g(x)=x2-ax+l,M判别式=a2-4.(1)当I心2时，50/S)n0,故/⑴在(0,亦)上单调递增.⑵当QV-2时，>0,g(x)二0的两根都小于0,在(0,+8)上，/G)〉0,故/(兀)在(0,+Q上单调递增.⑶当a>2时，>0,g(x)=0的两根为X]=,x2=。〜,当00；当X{*2时，fV)>09故/(X)分别在(0,兀]),(兀2，+°0)上单调递增,在(兀1宀)上单调递减.[2011•广东卷19]设a>0,讨论函数/(x)=lnx+a(l—a)x2—2(l

4、—a)x的单调性.【解答】函数几X)的定义域为(0,+oo)・2q(1—6z)x2—2(1—a)x+1x当qH1时,方程2q(1~a)x2—2(l—°)兀+1=0的判别式/=12(«_1)[a-*].%1当0va<

5、时，力>0,f⑴有两个零点，___r(a—l)(3a—1)__r(a—l)(3a—1)七_2。_—°，X2_2q十2a(l—a)，且当0兀2时，f(x)>0,/(兀)在(0,兀1)与(兀2,+°°)内为增函数；当X1

6、0,+X)内为增函数；%1当Q=1时，f(x)=2>0(x>0)，.沧)在(0，+°°)内为增函数；—」1J(«-l)(3(7-1)%1当Q1时，/>0,__1丄血一1)(3。一1)"2—2d十2^(1-67)<0,所以f⑴在定义域内有唯一零点X1,且当00,/(x)在(0,“J内为增函数；当QX］时,f(x)v0,金)注(兀1，+°°)内为减函数.HQ的单调区间如下表：0VQ<

7、13WaWla>l(0,%i)(“兀2)(兀2，+oo)(0,+OO)(0,Xi)(兀1，+oo)(其中宀-忖护V寸(q—1)(3q—1)2a(1—q)类

8、比变题方法小结:在利用导数求函数极值、最值及单调区间等问题时,若函数中含有参数，我们需对参数进行讨论。1)若导函数的二次项系数为参数,需对二次项系为正、负或零进行分类讨论；2）若需考虑判别式△，需对△>（）、A=0>行分类讨论；3）在求最值或单调区间时，由f'（x）=0解出的根，需与给定区间的两个端点比较大小，进行分类讨论。