理论力学(11-1234)

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1、理论力学第十一章：动量矩定理1内容提要十一.动量矩定理11-1、动量矩11-2、动量矩定理11-3、转动惯量11-4、刚体绕定轴转动的微分方程211-1.动量矩(1)质点对固定点的动量矩OAmvr质量为m的质点A,t时刻动量为mv,O为空间任一固定点,MO(mv)=rmvMO(mv)d动量矩是一个矢量.方向：垂直于r、mv所在的平面，指向由右手螺旋法则判定。则mv对O点的矩定义为质点的动量矩:大小：3(2)质点对固定轴的动量矩(3)质点系的动量矩质点系中所有质点的动量对于固定轴的矩的代数和，称为质点系对固定轴的动

2、量矩。LZ=LZi=MZ（mivi)4LZ=Jzω(4)定轴转动刚体对转轴的动量矩其中：JZ称为刚体对转轴的转动惯量。ω为刚体转动的角速度。511-2动量矩定理一、质点的动量矩定理MO(mv)=rmv将上式两端对时间求一阶导数，得：6质点对固定点的动量矩定理：质点对固定轴的动量矩定理：将（1）式两端投影到固定的轴上，可得到7二.质点系对固定轴的动量矩定理m1m2mimjmn第i个质点：miviFeiFii质量为mi动量为mivi：力外力Fei内力Fiixyz8根据质点对固定轴的动量矩定理:m1m2mimjmn

3、第i个质点：miviFeiFii(i=1,2,….n)将n个方程求和：fijfjixyz9质点系对固定轴的动量矩定理：三、动量矩守恒定律若,则Lz=C(恒量)1011-3.转动惯量(1)刚体对轴的转动惯量Jz=miri2JZ=M2m1m2mimjmnZri若刚体的质量为M，则：---称为刚体对Z轴的转动惯量。11（2）几种常见均质物体的转动惯量细直杆CZ/ZLM----杆的质量12矩形板CXaby细圆环薄圆板zrrz13(3)平行轴定理Jz1=Jcz+Md2圆柱体zrczz1d14例题1质量为m长度为l的均质

4、直杆OA和质量为m半径为R的均质园盘A在A点刚接,如图所示.求系统对垂直于图面且过O点的轴的转动惯量.OAR15解:OARJO=JOA+J盘16例题2.均质偏心圆轮重Q，偏心距OC=e，绕过O点且与图平面垂直的Z轴转动，某瞬时其角速度为.求:在该瞬时圆轮对Z轴的动量矩。COR解：因为圆轮绕定轴转动，所以：LZ=Jzω根据平行移轴定理：所以1711-4刚体的定轴转动微分方程LZ=Jzω定轴转动刚体对转轴的动量矩将上式两端对时间求一阶导数，得：18根据质点系对固定轴的动量矩定理：由以上两式，可得：此即为刚体的定轴转

5、动微分方程19利用动量矩定理或刚体定轴转动微分方程的解题步骤：P18720例3、如图所示一对啮合齿轮。两轮分别绕01，02转动，它们的半径分别为r1、r2；重量分别为P1，P2；轮1绕01轴的转动惯量为J1，轮2绕02轴的转动惯量为J2。现在齿轮1上作用一驱动力矩M1，求齿轮1的角加速度α1。（两齿轮轴的轴承摩擦忽略不计。）r1MO1r2O2分析：因为两轮分别绕不同的轴转动，因此，应分别选取两轮为研究对象。21r1MO1r2O2解：1、选01轮为研究对象，受力分析：2、选02轮为研究对象，受力分析：3、根据运动学关

6、系：PtPnr1MO1X1Y1P1α1r2O2PtPnP2X2Y2α2根据刚体的定轴转动微分方程：根据刚体的定轴转动微分方程：22联立（1）、（2）、（3），解得：23实例分析两猴爬绳比赛猴A和B的质量相等，即MA=MB，但猴A体质好，猴B体质差。二猴分别抓住缠绕在定滑轮O上的绳子的两端，在同一高度上，从静止开始向上爬，试分析比赛结果。ABO动量矩守恒定律24ABOVAVB分析：把轮、绳和两猴看作是一质点系，受力分析：MAgMBgMgxoYoR所以LO=C(恒量)因为开始时质点系静止，所以LO=0又因为二猴在同一高

7、度上，从静止开始向上爬，所以二猴同时到达顶端。25再见26