指派问题的算法

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1、指派问题的算法分析与实现摘要在企业、公司的运营与管理中，管理者总是希望把人员最佳分派以发挥其最大工作效率，从而降低成本、提高效益。然而，如果没有科学的方法是很难实现优化管理的，由此我们引入了指派问题。指派问题多是求项目的工时最少，而很多情况下人们并不关心项目总工时的多少，而只关心项目能否在最短的时间内完成，即历时最少的指派问题。这类问题研究的是n个人执行n项任务，执行每项任务的人数以及总的指派人项数均有限制，要求最优指派。在运筹学中求解整数规划的指派问题通常是通过匈牙利算法来求解，但指派问题也可以归结为一个0-1整数规划问题，本文

2、先对指派问题进行陈述，引出对实际问题的求解。在指派问题的背景、描述中充分理解该问题，先运用匈牙利算法实现指派问题，然后再建立一个0-1整数规划模型，并运用matlab和lingo编译程序对问题进行编译，运用软件解决模型问题，最终实现指派问题在实际问题中的运用。通过运用匈牙利算法和0-1整数规划同时对指派问题求解，我们发现用0-1整数规划的方法来求解可以更简单，也更方便程序的阅读和理解。与此同时，我们还对0-1整数规划问题由整数数据深入研究到小数数据。最后通过实例来说明运用matlab，lingo编译程序来解决整数规划问题的简便和有

3、效性。关键词：指派问题；匈牙利算法；0-1整数规划；matlab模型；lingo模型1.问题陈述15指派问题又称分配问题，其用途非常广泛，比如某公司指派n个人去做n件事，各人做不同的事，如何安排人员使得总费用最少？若考虑每个职工对工作效率（如熟练程度等），怎样安排会使总销量达到最大？这些都是一个企业经营管理者必须考虑的问题，所以该问题有重要的应用价值。假设有n件工作分派给n个人来做，每项工作只能由一人来做，每个人只能做一项工作。若给出各人对各项工作所具有的工作效率。问应该如何安排人选，及发挥个人特长又能使总的效率最大。为此用0-1

4、整数规划来实现指派问题即如何安排人选。2.背景在现实生活中，有各种性质的指派问题（AssignmentProblem）。例如，在生产管理中，总希望把人员进行最佳分配，以发挥最大的工作效率；某部门有n项任务要完成，而该部门正好有n个人可以分别去完成其中任何一项，但由于任务性质和个人的专长不同，因此各人完成各项不同任务的效益（所费时间或所花费用）也有差别，如果分配每个人完成一项任务且仅为一项任务，则把每项任务分配给哪个人去完成，使完成所有n项任务的总效益为最高（总时间、总费用为最小或创造的价值最大）？这是典型的分配问题或指派问题。又如

5、有n项加工任务，怎样指定n台机器分别去完成，以使总的加工时间最少或总收入最大；有n条航线，怎样指定n艘船分别航行，使总收入最大，等等，都属于指派问题。3.指派问题的描述3.1指派问题的一般形式指派问题的标准形式（以人和事为例）如下。有n个人和n项任务，已知第i个人做第j件事的费用为，要求确定人和事之间的一一对应的指派方案，使完成这n项任务的费用最少。一般把目标函数的系数写为矩阵形式，称矩阵为系数矩阵（CoefficientMatrix15），也称为效益矩阵或价值矩阵。矩阵的元素（i,j=1,2,…n）表示分配第i个人去完成第j项任

6、务时的效益。一般地，以表示给定的资源分配用于给定活动时的有关效益（时间，费用，价值等），且3.2问题的数学模型一般形式在模型中，约束条件式（2）表示每个人只能做一件事，约束条件式（3）表示每件事只能由一个人去做。对于问题的每个可行解，可用解矩阵来表示：当然，作为可行解，矩阵的每列元素中都有且只有一个1，以满足约束条件式（3）。每行元素中也有且只有一个1，以满足约束条件（2）。指派问题n!个可行解。3.3目标函数极大化的指派问题求解时，我们将构造一个新的矩阵，使，其中是一个足够大的常数。一般取中最大的元素作为，求解，所得的解就是原问

7、题的解。事实上，由15可的此结论。4．指派问题实现4.1匈牙利算法4.1.1匈牙利算法的理论基础定理1如果从分配问题的效率矩阵[]的每一行元素中分别减去（或加上）一个常数，从每一列中分别减去（或加上）一个常数，得到一个新的效率矩阵[]，则以[]为效率矩阵的分配问题与以[]为效率矩阵的分配问题具有相同的最优解。定理2若矩阵A的元素可以分为‘0’与‘非0’的两部分，则覆盖‘0’元素最少直线数等于位于不同行不同列的‘0’元素的最大个数。4.1.2匈牙利算法的实现步骤第一步：找出矩阵每行的最小元素，分别从每行中减去这个最小元素；第二步：再

8、找去矩阵每列的最小元素，分别从各列减去这个最小元素；第三步：经过这两步变换后，矩阵的每行每列至少都有了一个零元素，接着根据以下准则进行试指派，找出覆盖上面矩阵中所有零元素至少需要多少条直线；（1）从第一行开始，若该行只有一个零元素打上（）号。对打（