中科大算法汪炀第二次作业

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1、分布式算法作业周锋SA140110622.1分析在同步和异步模型下，convergecast算法的时间复杂性。解：（1）同步模型：最坏情况下，算法执行的每一轮中只有一个msg传递，而此时生成树汇聚最大值的算法最多执行n-1轮，也就是说同步情况下的时间复杂度为O(n-1)。（2）异步模型：在异步模型的汇集算法的每个容许执行中，树中每个距离pr为t的处理器至多在时刻t接收消息M，因此对于每个节点而言，它到它所有子节点中t最大的路径决定了它本身时间花费。因此在最坏情况下，仍应该是同步模型下的最坏情况，即生成树中除了末端节点每一个节点只有一个子节点，此时时间复杂度仍为O(n-1)。2

2、.2证明在引理2.6中，一个处理器在图G中是从Pr可达的，当且仅当它的parent变量曾被赋过值。证明：必要性：因为图G是由parent和children确定的静态图，任一节点在收到M后才会加入到图中。即可达节点收到过M，执行了算法2.2的第五行。由于是容许执行的，所以第7行（parent:=j）也会执行。充分性：若算法2.2的第7行执行过了，因为是容许执行，则必然有第5行也执行过了。即节点收到过M。而M又是从pr发出的，所以该节点是从pr可达的。2.3证明Alg2.3构造一棵以Pr为根的DFS树。证明：连通性：假设构造的图G存在邻居节点Pj和Pi。Pj从Pr可达，但Pi从P

3、r是不可达的。则Pi的parent为nil或者Pi不为Pj的child。由于G里一结点从pr可达当且仅当它曾设置过自己的parent变量。所以：1）Pj的parent必然设置过了；2）Pi的parent为nil或者Pi属于Pj的unexplored集合。而算法的第11和14行决定了Pj会向Pi发送M,使得Pi的parent成为Pj,Pi成为Pj的child。这与假设的结果矛盾。故Pi必然也是从Pr可达的。无环：假设G中存在一个环，P1,P2,….,Pi,P1。令P1是该环中最早接收到M的节点。则Pi是从P1可达的，且P1的parent是Pi，P1是Pi的child。而Pi在收

4、到M后，向P1发送M。因为P1的parent已经不为空，所以P1收到来自Pi的M时，根据第16行代码，P1会向Pi放回一个信息，不会将Pi设为parent。而Pi未收到P1返回的信息，也不会将P1设为child。与前面的出的结果矛盾。故G是无环的。图G是一棵DFS树：只需证明在有子结点与兄弟结点未访问时，子结点总是先加入树中。设有节点P1，P2和P3。P2和P3是P1的直接相邻节点。P1在第12~14行中先选择向P2发送M，则P1当且仅当P2向其返回一个（第17行，第22行）时才有可能向P3发送M。而P2仅在其向所有的相邻节点发

5、送过M后才会向P1返回。所以P2的子节点是永远先于P3加入树中的，即G是DFS树。2.4证明Alg2.3的时间复杂性为O(m)。证明：同步模型：每一轮中，根据算法，有且只有一个消息(MorParentorReject)在传输，从算法的第6、14、16、20、25行发送消息的语句中可以发现：消息只发往一个处理器结点，除根结点外，所有的处理器都是收到消息后才被激活，所以，不存在多个处理器在同一轮发送消息的情况，所以时间复杂度与消息复杂度一致。异步模型：在一个时刻内至多有一个消息在传输，因此，时间复杂度也与消息复杂度一致。消息复杂度：对任一边，可能传输的消息最多有4

6、个，即2个M，2个相应M的消息（ParentorReject），所以消息复杂度为O(m)综上，该算法的时间复杂度为O(m)。2.5修改Alg2.3获得一新算法，使构造DFS树的时间复杂性为O(n)。解：（1）在每个处理器中维护一个本地变量，同时添加一个消息类型，在处理器Pi转发M时，发送消息N通知其余的未访问过的邻居，这样其邻居在转发M时便不会向Pi转发。（2）在消息M和中维护一个发送数组，记录已经转发过M的处理器名称。两种方式都是避免向已转发过M的处理器发送消息M，这样DFS树外的边不再耗时，时间复杂度也降为O(n)。3.1证明同步环系统中不存在匿名的、一致

7、性的领导者选举算法。证明：在匿名系统中，每个处理器在系统中具有相同的状态机。由Lemma3.1可知，设算法A是使环上某个处理器为leader的算法。因为环是同步的，且只有一种初始配置。在每轮里，各处理器均发出同样的message，所以在各轮里各个处理器接收到相同的message，则状态改变也相同。所以所有处理要么同为leader，要么同时不为leader。故同步环系统中匿名的、一致性的领导者选举算法的算法是不存在的。3.2证明异步环系统中不存在匿名的领导者选举算法。证明：每个处理器的初始状态和状态机相同