第一节微分中值定理

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1、第三章微分中值定理与导数的应用二、罗尔中值定理三、拉格朗日中值定理四、柯西中值定理第一节微分中值定理第三章一、极值概念及费马引理本节的几个定理都来源于下面的在一条平面连续曲线段AB上,⌒则至少有一点处的切线,几何事实:平行于两个端点的连线,即平行于两端点所在的弦有水平的切线除端点外,处处有不垂直于轴的切线.极值定义一、极值概念及费马引理如果对有函数的极大值与极小值统称为极值.函数的极大值点与极小值点统称为极值点.为极大值点为极小值点注:函数的极大值和极小值是局部性概念。极值点一定在区间内部取得,不能在区间端点

2、取得.极值点不唯一,极大值不一定比极小值大.最大(小)值若在区间内部取得,则它一定是极大(小)值.费马引理若则(山峰、山谷若有切线必有水平切线)证:对都有即,由导数定义由极限的保号性费马引理指出可导函数的极值点必定是该函数的驻点通常称导数为零的点为函数的驻点或稳定点罗尔定理(1)(2)(3)使得二、罗尔中值定理几何意义:若除端点外，每一点都有不垂直于轴的切线，则其中必有一条切线平行于轴，也即平行于两个端点的连线。在两个高度相同的点之间的连续曲线上罗尔定理(1)(2)(3)使得费马引理:若则证:所以最值不可能同时

3、在区间端点取得.使由费马引理,(1)定理条件不全具备,结论不一定成立.罗尔定理(1)(2)(3)使得(1),(2)满足(3)不满足结论不成立.(1),(3)满足(2)不满足结论不成立.(1),(2)满足(3)不满足结论成立.注：例1.解:所以满足罗尔定理条件.(1)验证定理的假设条件满足(2)结论正确有实根注:罗尔定理强调了的存在性,至于等于什么并不重要,只要知道存在即可.例2.证:由零点定理即方程有小于1的正实根.(1)存在性(2)唯一性例2.证:(2)唯一性矛盾,故假设不真！注拉格朗日中值定理使得三、拉格朗

4、日(Lagrange)中值定理(1)(2)几何意义:若除端点外，每一点都有不垂直于轴的切线，则其中必有一条切线平行于两个端点的连线.在两个高度不相同的点之间的连续曲线上拉格朗日中值公式分析:从所证等式入手找到一个满足罗尔定理的函数拉格朗日中值定理(1)(2)使得欲证只要证只要证只要证(利用导数的性质)证:作辅助函数且易知由此得由罗尔中值定理，拉格朗日中值定理(1)(2)使得辅助函数的几何解释:说明:C为任意常数1.辅助函数的几何解释2.这样的辅助函数可有无穷多个欲证只要证只要证只要证C为任意常数3.书上辅助函数

5、的做法4.Lagrange公式的其它形式:恒等变形拉格朗日中值定理又称有限增量定理.它精确的表达了函数增量和某点的由(3)式看出,导数之间的直接关系.有限增量公式设想为拉格朗日中值定理的物理解释把数中值定理是说，函数在区间内部某一点处的瞬时变化率一定等于整个区间上的平均变化率.例如:一位货车司机在收费亭处收到一张罚单,说他在罚单列出的违章理由是该司机超速行驶.限速为80公里/小时收费道路上在2小时内走了180公里.为什么？推论证：有由假定,即在区间I内任意两点的函数值都相等,拉格朗日中值定理(1)(2)使得例3

6、.证由推论自证说明:欲证只需证在I上且使例4证：记∴满足拉氏定理的条件,通常就想到微分中值定理.如果在某区间上可导,要分析函数在该区间上任意两点的函数值有何关系,例5分析：欲证上述不等式成立，只须证：只须证：为此只须证：关键！构造例5证明：由上式得设中值定理条件,因此应有由柯西中值定理(1)(2)使得四、柯西(Cauchy)中值定理(3)柯西定理的几何意义注意设曲线的参数方程弦的斜率切线斜率显然柯西中值定理(1)(2)使得(3)拉格朗日中值公式错!柯西定理的下述证法对吗?不一定相同这两个思考：为此构造辅助函数分

7、析欲证上式成立,只须证只须证证明满足罗尔定理即可.例6.证法1:分析欲证上式成立，只须证即由柯西中值定理,使得例6.分析欲证只要证只要证即记证法2:由罗尔中值定理,使得即