也谈函数对称性的简单探究

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1、也谈函数对称性的简单探究也谈函数对称性的简单探究函数的对称性是函数的主要性质之一，与函数的其他性质有紧密的联系，而求函数的对称轴的问题是函数部分常见的一类问题，在各种复习资料以及高考和竞赛试题中经常以客观题的形式出现。下面我就拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方而来探讨函数与对称有关的性质。一、函数自身的对称性探究1.1问题的提出[WTBX]问题一对于函数y二f(x),若满足f(x+1)二f(1—x),则函数y二f(x)的图象关于x二对称。问题二对于函数y=f(x),在同一坐标下，函数y=f(x-1)与y二f(1—x)的图象关于x=对

2、称。1.2问题的解决对丁问题一，可有多种不同的解题思路。方法一(图象法)：市函数图象的对称性，对于两个不同的变量x+1和1-X对应的函数值相等,则有y=f(x)对称轴为x二(x+l)+(x—l)2=lo方法二(赋值法)：令x二1则f(2)=f(0),则y二f(x)的对称轴为x二2+02二1。方法三(特例法)：令f(x)二(x-1)2,则f(x+1)二x2=f(l—X),而f(X)关于X=1对称。对于问题二，常见的解法如下：方法一(特例法)：令f(x)=x,则y=f(x)=X—1,y=f(1-X)=l~x,从图象上可看出这两个函数关于x=l对称。方法二

3、(图象法)：因为f(-x)的图象和y二f(x)的图象关于y轴对称,而f(xT)和f(1-x)的图象均是f(-x)和y=f(x)的图象向右平移了1个单位，所以这两个函数关于x=l对称。1.3问题的普遍性上面的问题是两种求函数对称轴的典型例了。(1)已知一个等式，求一个函数的对称轴方程。结论1:已知f(x+a)=f(a-x)，则x=a是y=f(x)的对称轴。结论2:已知f(x)=f(2a-x),则y二f(x)关于x二a对称。(2)已知一个函数，求两个函数的对称轴问题。结论3:函数y=f(x)与y=f(2a-x)关于x=a对称。结论4:函数y=f(x-a)

4、与y=f(a-x)关于x=a对称。1.4问题的推广问题三已知f(xT)二f(2-x)，则y二f(x)关于x二对称。(利用上面的解法可直接推出y二f(x)的对称轴x二(x—1)+(2—x)2二12)问题四对于任一函数y=f(x),函数y=f(x-1)与y=f(2-x)关于X二对称O(要求两个函数对称，只需令xT二2-x,解得x二32,这就是对称轴)问题三的证明如下：设P(x0,y0)是y二f(x)的图象上任意一点，则它关于x二12的对称点为P(l-x0,y0),而f(1-x0)二f[T+(2-x0)]二f[2-(2-x0)]=f(x0)二y0,

5、这说明P(l-x0,y0)在函数y=f(x)的图象上，问题三得证。(问题四的证明此略)结论5:函数y=f(a-x)的图象与函数y二(b+x)的图象关于直线x=a—b2对称。结论6:已知y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线x二a+b2对称。结论7:函数y=f(a-tx)的图像与函数y二f(b+tx)的图象关于宜线x二a—b2t对称。结论8:若f(a+tx)=f(b-tx)，则y=f(tx)的图象关于直线x=a+b2对称。上面结论的证明类似于问题三的证明，此略。综合以上结论知：(1)求一个函数的对称轴方程就是x等于函数

6、自变量部分之和，除以X的余数的绝对值的2倍。(2)求两个函数的对称轴方程就是让函数的自变量相等解出Xo二、不同函数的对称问题结论9:若点P(x1,y1)关于点A(a,b)对称点为Q(x2,y2),则x2=2a~x1,y2=2b~y1。若点P(xl,y1)关于直线Ax+By+OO对称点为Q(x2,y2),则x2=xl-2A(Ax1+By1+C)A2+B2,y2=y1-2B(Ax1+By1+C)A2+B2。结论10:函数y=f(x)与y=2b—f(2a—x)的图象关于点A(a,b)成中心对称。结论11:⑴函数y=f(x)与y=f(2a—x)的图象关于直线

7、x=a成轴对称。⑵函数y二f(x)与a—x=f(a—y)的图象关于直线x+y二a成轴对称。(证明留给读者)⑶函数y二f(x)与x—a二f(y+a)的图象关于直线x—y二a成轴对称。推论：函数y二f(x)的图象与x二f(y)的图象关于直线x二y成轴对称。三、三角函数的对称轴问题(1)Vsinx二sin(n-x)二sin(2kn+n-x),Ty二sinx的对称轴为x二kn+兀2。⑵Tcosx二cos(一x)二cos(2kn-x),「•y二cosx的对称轴为x二kn。结论12:(l)y=sin(3x+d)的对称轴为x=kn+n2—3.(2)y二cos(3x

8、+e)的对称轴是x二kn—®3。四、结束语：以上从函数口身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面论述了函数