（教育精品）4　概率波

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1、波函数是量子力学中描写微观系统状态的函数。在经典力学中，用质点的位置和动量（或速度）来描写宏观质点的状态，这是质点状态的经典描述方式，它突出了质点的粒子性。由于微观粒子具有波粒二象性，粒子的位置和动量不能同时有确定值（见测不准关系），因而质点状态的经典描述方式不适用于对微观粒子状态的描述，物质波于宏观尺度下表现为对几率波函数的期望值，不确定性失效可忽略不计。1920年代与1930年代，理论量子物理学者大致分为两个阵营。第一个阵营的成员主要为路易·德布罗意和埃尔温·薛定谔等等，他们使用的数学工具是微积分，他们共同创建了波动力学。第二个阵营的成员主要为维尔纳·

2、海森堡和马克斯·玻恩等等，使用线性代数，他们建立了矩阵力学。后来，薛定谔证明这两种方法完全等价。德布罗意于1924年提出的德布罗意假说表明，每一种微观粒子都具有波粒二象性。电子也不例外，具有这种性质。电子是一种波动，是电子波。电子的能量与动量分别决定了它的物质波频率与波数。既然粒子具有波粒二象性，应该会有一种能够正确描述这种量子特性的波动方程，这给予了埃尔温·薛定谔极大的启示，他因此开始寻找这波动方程。薛定谔参考威廉·哈密顿先前关于牛顿力学与光学之间的类比这方面的研究，在其中隐藏了一个奥妙的发现，即在零波长极限，物理光学趋向于几何光学；也就是说，光波的轨道

3、趋向于明确的路径，而这路径遵守最小作用量原理。哈密顿认为，在零波长极限，波传播趋向于明确的运动，但他并没有给出一个具体方程来描述这波动行为，而薛定谔给出了这方程。他从哈密顿-雅可比方程成功地推导出薛定谔方程。他又用自己设计的方程来计算氢原子的谱线，得到的答案与用玻尔模型计算出的答案相同。他将这波动方程与氢原子光谱分析结果，写为一篇论文，1926年，正式发表于物理学界。从此，量子力学有了一个崭新的理论平台。薛定谔给出的薛定谔方程能够正确地描述波函数的量子行为。那时，物理学者尚未能解释波函数的涵义，薛定谔尝试用波函数来代表电荷的密度，但遭到失败。1926年，玻

4、恩提出概率幅的概念，成功地解释了波函数的物理意义。可是，薛定谔本人不赞同这种统计或概率方法，和它所伴随的非连续性波函数坍缩，如同爱因斯坦认为量子力学只是个决定性理论的统计近似，薛定谔永远无法接受哥本哈根诠释。在他有生最后一年，他写给玻恩的一封信内，薛定谔清楚地表明了这意见。1927年，道格拉斯·哈特里（DouglasHartree）与弗拉基米尔·福克（VladimirFock）在对于多体波函数的研究踏出了第一步，他们发展出哈特里－福克方程来近似方程的解。这计算方法最先由哈特里提出，后来福克将之加以改善，能够符合泡利不相容原理的要求。薛定谔方程不具有洛伦兹不

5、变性，无法准确给出符合相对论的结果。薛定谔试着用相对论的能量动量关系式，来寻找一个相对论性方程，并且描述电子的相对论性量子行为。但是这方程给出的精细结构不符合阿诺·索末菲的结果，又会给出违背量子力学的负概率和怪异的负能量现象，他只好将这相对论性部分暂时搁置一旁，先行发表前面提到的非相对论性部分。1926年，奥斯卡·克莱因（OskarKlein）和沃尔特·戈尔登（WalterGordon）将电磁相对作用纳入考量，独立地给出薛定谔先前推导出的相对论性部分，并且证明其具有洛伦兹不变性。这方程后来称为克莱因-戈尔登方程。1928年，保罗·狄拉克最先成功地统一了狭义

6、相对论与量子力学，他推导出狄拉克方程，适用于电子等等自旋为1/2的粒子。这方程的波函数是一个旋量，拥有自旋性质。 [1] 研究过程在量子力学中，为了定量地描述微观粒子的状态，量子力学中引入了波函数 [2]  ，并用Ψ表示。一般来讲，波函数是空间和时间的函数，并且是复函数，即Ψ=Ψ（x，y，z，t）。将爱因斯坦的“鬼场”和光子存在的概率之间的关系加以推广，玻恩假定Ψ*Ψ就是粒子的概率密度，即在时刻t，在点（x,y,z）附近单位体积内发现粒子的概率。波函数Ψ的绝对值的平方因此就称为概率幅。电子在屏上各个位置出现的概率密度并不是常数：有些地方出现的概率大，即出现

7、干涉图样中的“亮条纹”；而有些地方出现的概率却可以为零，没有电子到达，显示“暗条纹”。波函数由此可见，在电子双缝干涉实验中观察到的，是大量事件所显示出来的一种概率分布，这正是玻恩对波函数物理意义的解释，即波函数模的平方对应于微观粒子在某处出现的概率密度（probabilitydensity）：即是说，微观粒子在各处出现的概率密度才具有明显的物理意义。据此可以认为波函数所代表的是一种概率的波动。这虽然是人们对物质波所能做出的一种理解，但是波函数概念的形成正是量子力学完全摆脱经典观念、走向成熟的标志；波函数和概率密度，是构成量子力学理论的最基本的概念。概率幅满

8、足于迭加原理，即：ψ12=ψ1+ψ2。波函数ψ(r,t)是坐标和时