等积变换的运用

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1、等积变换的运用李国雄（江西省全南第二中学341800）等积变换是指在解某些几何问题时，通过几何图形的面积相等，相互间进行转换，从而使问题得到解决，这种方法也称面积法，在初中数学中非常重要，为了说明其重要性，下面选取几例，供读者参考。例仁如图，在直角三角形ABC中，CD是斜边AB±的高，AC=8,BC=6,求CD的长。解：在RtAABC中，•.*AC=8BC=6AB=7ac2+bc2=104abcd=』82+6，.-.1x8x6=1x10x60ACD=4.8例2：如图，直角三角形ABC,ZC=90

2、°,AC=4,BC=3,P为AC上的一动点（不和A、C重合），PD丄AB于D,设CP二x,PD=y，试求y关于x的函数解析式。解：连结BP在RUabc中，ZO90。AC=4BC=3•'•AB二5丁SaaBCz二Szxpcb+S^APBABy=_S阴二S扇二60加-BC-AC=1xBCxCP+1AB•PD2223x4=3x+5y5y=12-3x312—x+一55•••所求的解析式为尸£兀+等JJ评析：上述两例，都利用了同一个三角形的面积相等,比用勾股定理、三角形相似等知识来进行解答，显得既方便又快

3、捷。例3：如图，C、D是以AB为直径的半圆0上的三等分点，圆的半径为R,求图中阴影部分的面积。解：连接OC、0D•••C、D是半圆上的三等分点•••AC二CD二BD•ICD//ABAACD和厶OCD中，CD边上的高相等即SaaCD~SaoCD例4：如图，在等腰梯形ABCD中，AB〃CD且AC丄BD于O,AC=8,求AB+CD的长。解：作CF〃BD交AB的延长线于FCD二BF且高都是CE••SaaCD—SacBF•・S梯形abcd=*ACBD=1x8x82=32•・S^acf=S梯形abcd=32

4、又VCF^BDAC±BD•••ZACF=90。JAC二BD/.AACF为等腰直角三角形设CE=a则AF=2aSucf=*AF・CE=32即-ax2a=322a2=32a=4近AF=2a=8V2•••AB+CD二AB+BF二AF二皿评析：例3、例4的应用了等底等高的两个三角形面积相等从而使问题得到解决。例5：如图菱形ABCD的对角线交于O,AC=8,BD=6,求菱形的咼BEo解：在菱形ABCD中TAC、BD互相垂直且平分•••0A=0C=40B=0D=3在直角三角形A0D中CAD=a/42+32=

5、5丁S菱形二Iacbd^adbe2即lx8x6=5BE2:.BE=—5评析：本题利用同一菱形的面积相等进行代换，从而使问题得到解决。例6：如图，已知M是梯形ABCD—腰CD上的中点,AD〃BC,MN±AB于N,求证：S梯形abcd=AB・MN。证明：连接AM并延长交BC的延长线于E•••AD〃BC•••ZD二ZMCEDM=CMZAMD二ZCMEAAAMDAEMC(ASA)•・S梯形abcd=S^abeAM二EM连结BM•••AABM和AMBE是等底同高的三角形••SaaBM-SabEM•・S梯形

6、abcd=S^abe-2Saabm=2x1AB-MN2二AB・MN评析：本例应用等积变换把梯形的面积转化为三角形的面积，从而得以证明。求SabDE°C例7：如图，AABC的面积为a,BC=5BD,AB=4BE,解：连结ADVBD^lBC5AABD的咼和△ABC的咼相同•••Saabd-

7、Saabc又tbeJab4ABDE和厶ABD的高相同•••Sabde=

8、Saabd•••SABde=^x1Saabc二丄a20评析：利用三角形高相等，面积之比等于底边之比，把问题顺利解决。例8：如图AABC,试用

9、三条线段把AABC的面积分割成六等份，并说明理由（提示：利用等底等高的三角形面积总之，利用等积变换的关键是找准问题的角度，抓住面积相等进行代换，从而使问题得到解决。