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1、极限方法总结摘要数列极限的求法一直是数列小一个比较重要的问题，本文通过归纳和总结，从不同的方面罗列了它的几种求法。关键词极限定义、连续性、无穷小量、洛必达法则、换元ThelimitsofthemethodssummarizeAbstract:Themethodofsequencelimitisalwaysmoreimportantwellprobleminmathematics,thispapersumupfromdifferentaspectsandafewofitslistingisalsog
2、iven.Keywords:limitdefinition,continuity,infinitesmallamount,LfHospitallawjoschangeyuan极限一直是数学分析小的一个重点内容，而对数列极限的求法可谓是多种多样，通过归纳和总结，我们罗列;II一些常用的求法。求数列极限的最基本的方法还是利用数列极限的定义，也要注意运用两个重耍极限，其中，可以利用等量代换，展开、约分，三角代换等方法化成比较好求的数列，也可以利用数列极限的四则运算法则计算。夹逼性定理和单调有界原理是很重
3、要的定理，在求的时候要重点注意运用。洛必达法则是针对某些特殊的数列而言的。述有一些比较常用的方法，在本文中都列举了。一、极限定义、运算法则和一些结果1.定义：当自变量X的绝对值无限大时，如果函数f(x)无限趋近于一个常数A,那么称A为函数f(x)当x-8时的极限，记作1.极限运算法则定理1已知lim/(x),limg(x)都存在，极限值分别为a,B,则下面极限都存在,且有(])lim[/(尢)±g(x)]=A±B(2)Hm/(x)-g(x)=A-B=-,(此时需BH0成立)(3)
4、号下而的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。例题：求1曲2八+
5、f才+12兀2-兀+1解:2v2x~x+ilim厶4XTOOlimA->002XF+l2X2丄丄xr2=lim=2.宀1+彳2.两个重要极限..sinxlim(1)"TOX1lim(l+x)x=e(2)XTO说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式,•1xlim弘二1lim(l-2x)_2v=eHni(l+=e例如：e3x,5,zx:Wo3.等价无穷小定理2无穷小与冇界函数的
6、乘积仍然是无穷小(即极限是0)。定理3当xtO时，下列函数都是无穷小（即极限是0）,且相互等价，即冇:%〜sinx〜tan兀〜arcsinx〜arctanx〜ln(l+兀)〜幺*-1说明：当上面每个函数中的口变量X换成巩力时（g（x）TO）,仍有上面的等价关系成立，例如：当2°吋，戶一1〜3%.ln（l-x2）〜—兀。定理4如杲函数/（兀），曲），/1（兀），＜?1（力都是兀时的无穷小，J1/W〜lim如lim加£（x）,g（x）〜gJQ，则当存在时，・％g（x）也存在且等于门工＞,即讪出liml
7、im21WXT*。g（X）=XTX°gl（X）gj（X）o1.洛比达法则定理5假设当自变量x趋近于某一定值（或无穷大）时，函数/（兀）和（兀）满足:（1）于⑴和g（“）的极限都是0或都是无穷大;（2）『（兀）和&⑴都可导,且&（兀）的导数不为0；(3)存在（或是无穷大）;恤世limZM则极限g（x）也一定存在，且等于g（X）,lim^^lim^^即g(%)=“)。说明：定理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意条件（1）是否满足，
8、即验证所求极限是000否为“6”型或“8”型；条件（2）一般都满足，而条件（3）则在求导完毕后可以知道是否满足。另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用Z前都需要注意条件。例题;limXT1jq—3兀+2~27X~X_兀+1W：limXT1x3-3x+2~~327X~X_x+l6x=lima6x-26.连续性£(、limf(x)=/(x0),则称函数f(x)定理6设函数/(X)的定义区间内的一点，若有xt%在兀o连续。例题：函数f(x)=2x-l在点x=2连续。因为limf(x)=lim(2x-1
9、)=3=/(2)x—2x—27.极限存在准则定理7(准则1)单调有界数列必有极限。定理8(准则2)已知｛儿｝，｛儿｝，｛"｝为三个数列,且满足:1)儿5z“，5=1,2,3,…)(2)limyn=an->oolim—=alimxnlimxn-a则极限"T"一定存在，且极限值也是a,即“ts求极限方法举例1・用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限例题lim如+l-2x—解:原式=1也=limX->1(J3x+1)2_22(x-1)(丁3兀+1+2)3x—3(x-1)(a/3x+
