【试读】度量：一首献给数学的情歌

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1、目录

2、XI第1章目录现实与想象／1论数学问题／4第一部分大小和形状／19我们开始考察抽象的几何图形。——马赛克图案与角度的度量。——等比例缩放与比例。——长度、面积与体积。——穷竭法及其应用。——多边形与三角学。——圆锥曲线与射影几何。——机械曲线。第二部分时间和空间／185关于数学中的运动的一些思考。——坐标系与维度。——运动作为一种数值关系。——向量表示与相对运动。——速度的度量。——微分学及其诸多应用。——临末给读者的一些鼓励。致谢／368现实与想象

3、1现实与想象有很多不同的现实同时存在着，当然其中就包括我们自己生活在其中的物理现实。还有那些与物

4、理现实十分相似的想象世界，比如其他的一切都与物理现实完全一样，只是其中的我五年级的时候不再尿裤子的想象世界；又比如在公交车上有一位头发乌黑的漂亮姑娘向我转过身来，然后我们开始聊天并最终坠入爱河的想象世界。请相信我，有很多这样的想象世界，只是它们既不在这儿，也不在那儿。我想谈谈一个不同的地方，我将要称呼它为“数学现实”。在我的脑海里，一直有着这样的一个世界，各种漂亮的形状和模式四处飘动，并做着各种令人好奇、使人惊讶的事情，这些事情让我身心愉悦并陶醉其中。那真是一个神奇的地方，我很爱它！事实是，物理现实是一场灾难。它太复杂了，任何事情都不是表面看上去的那样

5、简单：其中的物体会热胀冷缩，而原子则会飞来飞去。特别是，没有任何东西能够在真正的意义上被度量。我们不知道一株小草真正的高度，在物理现实中，任何度量都必然只能够是粗略的近似。这也并不能够说坏，这只是物理现实的性质。最小的微粒也不是一个点，最细的金属丝也不能说是一条直线。另一方面，数学现实则是想象的。它可以像我想的那样简单精致，同时我能够拥有那些我在现实生活中不可能拥有的美好事物。虽然我的手里永远不可能握着一个真正的圆，但在我的头脑中却可以装一个这样的圆，而且我可以度量它。数学现实是我自己创造的一个美丽仙境，我可以探索它、思考它，也可以和朋友们讨论它。2

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7、度量：一首献给数学的情歌由于各种各样的原因，人们纷纷对物理现实产生了浓厚的兴趣。天文学家、生物学家、化学家以及其他学科的科学家们都尝试着去探索它的工作原理，并试图向我们描述它。在这本书中，我想要描述的是数学现实。找出模式，找出隐藏在其背后的工作原理，这就是包括我在内的数学家们努力去做的事情。关键是，我同时拥有物理现实和数学现实，它们都很漂亮、有趣（当然也不免有些吓人）。物理现实很重要是因为我就生活在其中，数学现实很重要则是因为它已然是我生命的一部分。在生活中，我同时拥有这两个美好的事物；亲爱的读者，你也和我一样。在本书中，我们将会设计模式，找到形状和运

8、动的模式，然后我们试着去理解这些模式并对它们进行度量。我确信我们将会看见美好的事物。但是亲爱的读者，我也不想对你们撒谎，这同时也是一项非常艰苦的工作。数学现实就像是一片无垠的丛林，其中充满了无数迷人的奥秘，但它绝不会轻易吐露其中的秘密。让我们做好奋斗的准备吧，无论是智力方面，还是创造力方面。事实上，我不知道还有哪一项人类活动对想象力、洞察力以及创造力有如此高的要求。不过，无论怎样，我都要做这件事，因为我情不自禁要这样做。一旦你走进这片丛林，你就再也不能够真正地离开，它会让你魂牵梦绕、流连忘返。因此，我诚挚地邀请你踏上这段神奇的旅程！同时，我也很希望你能

9、够热爱这片丛林，并被它的魅力所征服。在这本书中，我会尝试着去描述我对数学的感觉，并向你展示一些最漂亮、最激动人心的发现。请不要期望书中有任何注解、参考文献或者类似的学术性的内容。本书属于个人化的写作，我希望我能够用平白易懂同时不乏趣味的方式来传达这些深邃而迷人的思想。同时，我也期望这一过程是平缓的。我不会把你当作孩子而不让你现实与想象

10、3接受真理的洗礼，也不会因为旅途艰难而向你道歉。领会一种新的思想需要花费几个小时甚至几天，这一点也不奇怪，要知道最开始的时候人们为了领会它甚至花了几个世纪！我将假定你喜欢美好的事物，并且很想学习它们。在阅读的旅程中，你唯

11、一需要的只有常识和天生的好奇心。因此，请保持轻松。艺术是用来欣赏的，而本书就是一本关于艺术的书。数学并不是一次比赛或者竞赛，而是你在与自己的想象力玩耍。愿你有一段美好的阅读时光！4

12、度量：一首献给数学的情歌论数学问题数学问题是什么？对数学家来说，一个问题就是一次探索，就是对数学现实的一次测试，看看它会有怎样的性质。用我们通常的话来说，就是“用树枝捅一下”，然后看看会发生什么。面对某部分未知的数学现实（它可以是形状的构成，也可以是数字的模式，或者随便别的什么），我们想知道它是怎样运作的以及它为什么这样运作。因此，我们“捅”它一下，不过并不是用手或者树枝，

13、而是要用我们的头脑。我们来看一个例子，比如说你正拿着三角形在玩，并将它们剪切成新的小三角形，碰