有限单元法 第3章 弹性力学平面问题的有限元分析

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1、第3章弹性力学平面问题的有限元分析3.1概述在有限元法中，把单元与单元之间设置的相互连接点，称为结点。一般用号码1、2、…进行结点编号。结点可为铰接、固接或其它形式的连接。结点的设置、性质及数目等均视所研究问题的性质、描绘变形状态的需要和计算精度的要求等而定。在有限元法中引进结点概念是至关重要的。有了结点，才可将实际连续体看成是仅在结点处相互连接的单元集合组成的离散型结构，从而可使研究的对象转化成可以使用电子计算机计算的教学模型。由单元、结点、结点连线构成的集合称为有限元模型。它是有限元分析与计算的对象。3.1.1单元划分类型单元类型：三角形、四边形

2、单元数目：根据计算精度要求来确定结点设置：使单元的的结点编号尽量靠近有限元模型：由单元、结点、结点连线构成的集合3.1.2位移函数在选择多项式时，为了使有限单元法的计算精度和收敛性得到保障，还需要满足完备性和连续性的要求。为了使位移模式尽可能地反映物体中的真实位移形态，它应满足下列条件：（1）位移模式必须能反映单元的刚体位移；（2）位移模式必须能反映单元的常量应变；（3）位移模式应尽可能地反映位移的连续性。弹性力学平面问题一般选择多项式函数作为位移函数。3.2平面三角形单元三角形单元是一种简单方便、对边界适应性强的单元，由于以三角形的三个顶点作为结点，

3、因此又成为三结点三角形单元。这种单元的计算精度较低，使用的时候必须进行精细的网格划分，但他仍然是一种常用的单元3.2.1位移函数的选取如图3.4所示的3结点平面三角形单元，结点　　　的坐标分别为　　、　　、　　，结点位移分别为、、　、　、　、　。记单元的结点位移向量　和结点力向量　为：根据完备性和连续性的要求，选取3结点三角形单元的位移场函数　　如下：（3-4）将3个结点　　　上的坐标和位移分别代入式（3-4）就可以将六个待定系数用结点坐标和结点位移分量表示出来。将水平位移分量和结点坐标分别代入（3-4）中的第一式，得到：写成矩阵形式，有：（3-6）其

4、中，为三角形单元的面积。为了避免出现　　的情况，三个结点　　　按逆时针顺序排列。由（3-6）得到：将竖向位移和结点坐标代入（3-4）中的第二式，可以得到：（3-8）将（3-7）、（3-8）代回（3-4）整理后可得：（3-9）（3-10）其中系数，（下　　　　标轮换）令（3-11）可得：（3-12）单元内的位移场函数可以简写成：（3-13）把　　称为形函数矩阵，　称为形函数。根据形函数的定义，　　具有以下性质：（1）在单元结点上形函数的值为1或为0。（2）在单元中的任意一点上，三个形函数之和等于1。3.2.2单元的应变场根据单元的位移场函数式（3-12）

5、，由几何方程可以得到单元的应变场表达式：（3-14）记为：（3-15）其中，矩阵　称为几何矩阵。矩阵　可以表示为分块矩阵的形式（3-16）这里，3.2.3单元的应力场由物理方程及式（3-15），可以得到单元的应力场表达式：（3-18）其中　　　为应力矩阵，　称为弹性矩阵，对于平面应力问题，(3-19)将应力矩阵表示为分块矩阵的形式，有：（3-20）其中：对于平面应变问题，只需将　换为　　　，　换为　　　，则（3-21）变为：3.2.4单元刚度矩阵（1）单元的应变能（3-23）（2）单元上外力的势能（3-24）式中　　、　　、　　分别表示单位体积的体积力

6、、单元上的表面力、单元结点上的结点荷载。将式（3-13）、（3-15）、（3-18）代入（3-23）、（3-24）后相加，得到单元的总势能为：利用最小势能原理，取结点位移　　的变分，得到：由　　的任意性，有：考虑到　　　的对称性，对式（3-25）求偏导得到：记：则式（3-28）可写为：这就是描述单元结点力和结点位移向量之间关系的平衡方程。其中　称为单元刚度矩阵。在3结点等厚三角形单元中　和的分量均为常量，则单元刚度矩阵可以表示为：其中t、Ａ分别为单元的厚度和面积。单元刚度矩阵　可以表示为分块矩阵的形式：其中：对于平面应力问题，其刚度矩阵的显式：3.2.

7、5等效结点荷载在式（3-28）中括号中的前两个量分别为体积力、表面力移置到结点上的等效结点力，依次定义为　　、　　，即：、那么（3-30）中的荷载列阵就等于体积力、表面力和单元结点荷载叠加。因此作用在弹性体上的外力，需要移置到相应的结点上成为结点荷载。荷载移置要满足静力等效原则。3.2.6整体刚度矩阵得到了单元刚度矩阵后，需要将一系列的将单元组成一个整体结构，然后根据结点载荷平衡的原则进行分析，得到整体刚度矩阵。整体分析包括以下4个步骤：（1）建立整体刚度矩阵，（2）根据支承条件修改整体刚度矩阵，（3）解方程组，求出结点的位移，（4）根据结点位移，求出

8、单元的应变和应力。由单元刚度矩阵得到整体刚度矩阵的基本方法是刚度集成法，即整体刚度矩阵是单元刚