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1、高中数学不等式恒成立问题探析不等式恒成立问题贯穿在整个髙中数学学习中，涉及到函数、方程、不等式、导数、数列等相关知识，是高考中的热点问题，综合性比较强，较难找到解题的切入点和突破口，归纳总结出不等式恒成立的题型和解决方法至关重要，下面笔者将从函数法、分离参数法、数形结合法、最值法四方面来阐述.(―)函数法1、转换主元解决恒成立问题例1、设，当时恒有，则的取值范围是分析：令，这是一个以为自变量的一次函数，图象是一条直线，则对恒成立，得.点评：主元思想是指在含有两个或两个以上字母的问题解决过程中，选择其中一个字母
2、作为研究的主要对象，视为“主元”，而将其余字母视作参数或常量，是主变量，是参变量(参数)，与习惯的变量形式相反，可以在解题中变换变量的表达形式，即把所有的换成，同时把所有的换成，通俗讲可以认为已知哪个变量的范围就将这个函数看做以哪个为自变量的函数.2、化归思想，转化为二次函数恒成立问题例2、已知函数的定义域为R,则a的取值范围是.分析：对恒成立.时恒成立点评：此题属定义在上恒成立，借助于图象理解得恒正且c>0或恒负且cO时，接下来求的最小值遇到了困难.重新分析：由f(x)Nax得(x+1)ln(x+l)-ax
3、$0,构造函数g(x)=(x+1)ln(x+l)-ax,问题转化为恒成立，故,显然g(x)的最小值是用a表示的，从而得到关于a的不等式.下面看看能不能把g(x)的最小值求出来.在同一坐标系中作出它们的图象如下：从图中可以看出，直线尸x与曲线恰好切于点(1,1),因此当x>l时，恒不成立，所以a无解.当a时，列表如下：综上，a.点评：在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，即构造函数法，然后利用相关函数的图象和性质解决问题，因为一些含自然对数和指数函数的不等式恒成立问题，用初等方法难以
4、处理，而利用导数来解，它不仅考查函数、不等式等有关的传统知识和方法，而且还考查导数等新增内容的掌握和灵活运用.它常与思想方法紧密结合，体现能力立意的原则，带有时代特征，突出了高考试题与时俱进的改革方向•因此，越来越受到高考命题者的青睐.（二）分离参数法，转化为求函数的最值问题例5、已知对任意恒成立，求的取值范围。分析：利用分离参数法将主变量和参数分别位于不等式的左右两边，转化为恒成立，使得解得点评：分离参数法可把要求的参变量分离出来，单独放在不等式的一侧，将另一侧看成新函数，于是将问题转化成新函数的最值问题：
5、若对于取值范围内的任一个数都有恒成立，则；若对于取值范围内的任一个数都有恒成立，则•如果分离参数后的函数没有最值，只有上限或下限，那要专门对上限或下限进行检验，研究参数能否取到上限或下例6、设为常数，数列的通项公式为,若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.分析：由得对恒成立当n为偶数时，当n为奇数时，综上，点评：数列中的不等式恒成立问题涉及的主要方法是分离参数法，通过分离参数转化为数列的最值问题，与函数处理思路是一脉相承的，数列本质上是函数，形散而神不散.（三）数形结合法例7、已知不等式在上恒成立，则a的取值
6、范围是.分析：令在同一坐标系中画出两者的图象.当a>l时，显然不成立；当0例8、如果不等式在内恒成立，求参数k的取值范围.分析：令原命题的否定：在有解•即有交点，在同一坐标系中画出两者的图象.当直线过（0,2）,（5,0）时，当直线与曲线相切时,解得・・・・・・所求参数k的取值范围为点评：当不等式两边的函数图象可以作出，或通过移项可以作出，我们作出图象，利用图象的直观性和运动变化的观点，将数的大小关系化归为图象的上下关系，再从图形的角度还原，寻求代数限制条件，从而求参数的范围，常用角度有某一极端情形如端点、相
7、切等•在上述过程中，反复体现数形结合的重要数学思想.（四）最值法例9、已知两函数f(x)=8x2+16x-k,g(x)=2x3+5x2+4x,其中k为实数.(1)对任意x[-3,3],都有f(x)Wg(x)成立，求k的取值范围;(2)对任意xl、x2[-3,3],都有f(xl)Wg(x2),求k的取值范围.分析:(1)8x2+16x~kW2x3+5x2+4x对x[-3,3]恒成立设,.变式训练：看看下面的问题与(1)、(2)有何不同？存在x[-3,3],使f(x)Wg(x)成立，求k的取值范围；分析：存在x[
8、-3,3],使得成立，■••反思：利用补集思想解题，原命题的否定：使得恒成立，,故满足题意.对于存在性问题(亦即有解问题)，我们可以得到下面一组结论：(1)不等式f(x)k在xI时有解xI.不等式恒成立和有解是有明显区别的，各自的充要条件应细心思考，甄别差异，恰当使用，等价转化，切不可混为一谈.点评：此题(1)中利用分离参数法可求出k的取值范围，但是(2)中利用分离参数法则是完全错误的，因为(2)中
