单纯形法图解法及原理

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1、例：公交线路人员优化问题某昼夜服务的公交线路每天各时间区段内所需司机和乘务人员数如下：班次时间所需人数16:00-10:0060210:00-14:0070314:00-18:0060418:00-22:0050522:00-2:002062:00-6:0030设司机和乘务人员分别在各时间区段一开始时上班，并连续工作八小时，问该公交线路至少配备多少名司机和乘务人员。列出此问题的线性规划模型。P46:Ex91决策变量：Xi为第i班开始上班的人数i=1,…,6目标函数：MinZ=X1+X2+X3+X4+X5+X6约束条件：X6+X

2、1>=60X1+X2>=70X2+X3>=60X3+X4>=50X4+X5>=20X5+X6>=30Xi>=0,1=1,…,62线性规划模型隐含的假设：比例性：决策变量变化引起目标的改变量与决策变量改变量成正比。可加性：每个决策变量对目标和约束的影响独立于其它变量。连续性：每个决策变量取连续值。确定性：线性规划中的参数aij,bi,ci为确定值。3第二节单纯形法原理----图解法图解法：是用画图的方式求解线性规划的一种方法。只能用于求解两个变量的LP问题41）作出可行域2）作出一条目标函数的等值线3）平行移动目标函数的等值线，

3、求出最优解图解法基本步骤：5例1.数学模型maxZ=50x1+30x2s.t.4x1+3x21202x1+x250x1,x206x2504030201010203040x14x1+3x2120由4x1+3x2120x10x20围成的区域7x2504030201010203040x12x1+x2504x1+3x2120可行域同时满足：4x1+3x21202x1+x250x10x20的区域——可行域8x2504030201010203040x1可行域O（0，0）Q1（25，0）Q2（15，20）Q3（0，

4、40）可行域是由约束条件围成的区域，该区域内的每一点都是可行解，它的全体组成问题的解集合。该问题的可行域是由O，Q1，Q2，Q3作为顶点的凸多边形9x2504030201010203040x1可行域目标函数是以Z作为参数的一组平行线x2=Z/30-（5/3）x110x2504030201010203040x1可行域当Z值不断增加时，该直线x2=Z/30-（5/3）x1沿着其法线方向向右上方移动。11x2504030201010203040x1可行域当该直线移到Q2点时，Z（目标函数）值达到最大：MaxZ=50*15+30*20

5、=1350此时最优解=（15，20）Q2（15，20）有唯一最优解12例2解线性规划有唯一最优解13对于线性规划问题，我们定义：可行解：满足全部约束条件的决策向量XRn。可行域：全部可行解构成的集合。（它是n维欧氏空间Rn中的点集，而且是一个“凸多面体”)最优解：使目标函数达到最优值（最大值或最小值，并且有界）的可行解。无界解：若求极大化则目标函数在可行域中无上界；若求极小化则目标函数在可行域中无下界。14有无穷多最优解例3解线性规划Z=0Z=-215例4解线性规划有无界解16例5：MaxZ=3X1-2X2X1+X2<=12

6、X1+2X2>=8X1,X2>=0无可行解17结论：1、线性规划问题的可行域为凸集2、若有最优解一定可以在其可行域的顶点上得到线性规划问题解的几种情况：1、有唯一最优解2、有无穷多最优解3、无可行解4、无最优解18第三节单纯形法----原理单纯形法：单纯形法是求解线性规划的主要算法，1947年由美国斯坦福大学教授丹捷格（G.B.Danzig）提出。尽管在其后的几十年中，又有一些算法问世，但单纯形法以其简单实用的特色始终保持着绝对的“市场”占有率。19定义1：基(基阵)——由A中一个子矩阵B是可逆矩阵，则方阵B称为LP问题的一个

7、基。A=(P1…PmPm+1…Pn)=(BN)基向量非基向量…X=(X1…XmXm+1…Xn)T=(XBXN)T基变量非基变量XBXN…线性规划问题解的概念20例1、X1+2X2+X3=303X1+2X2+X4=602X2+X5=24X1…X50121003201002001P1P2P3P4P5A=21AX=b的求解A=(BN)X=(XBXN)TXBXN(BN)=bBXB+NXN=bBXB=b-NXNXB=B-1b-B-1NXN22定义2：基本解——对应于基B，X=为AX=b的一个解。B-1b0定义3：基本可行解——基B，基

8、本解X=若B-1b0，称基B为可行基。最优解、最优基B-1b0※基本解中最多有m个非零分量。※基本解的数目不超过Cnm=个。n!m!(n-m)!23X1X2X3X4X5X=b=306024B=(P3P4P5)=I可逆基N=(P1P2)X3=30-(X1+2X2)X4=60-