备用例题(蓝色背景)

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1、O1O2O3O4例4如图所示，三个半径为R、质量相同的匀质光滑小球放在光滑水平桌面上，用一根不可伸长的细绳把它们约束起来.再将一个半径也为R，质量是上述一个小球质量3倍的匀质光滑小球放在上述三球中间正上方，因细绳的约束，下面的三个小球并未分离，试求：（1）放置上面小球后，细绳张力的T；（2）将细绳剪断后，上面的小球碰到桌面时的速度.俯视图解本题先是一个静力学的平衡问题，然后才是一个动力学问题。连接各球心O1、O2、O3、O4，连接O1、O2与ΔO2O3O4的中心O，O1O2O3O4NNOθ0设球1与下面各球的压力为N，（1）细绳未剪断时则有则有对球1由平衡条件得球2（及球3、球4）受球1

2、的压力N的水平分量N′为OO1O2O3O4θ0NNN'现在就知道了球2在水平方向上的受力情况正是由于N‘对球2的作用导致细绳产生张力T，由平衡条件得所以O2N'T600T（2）细绳剪断后OO1O2O3O4θ0你当然知道球1会向下运动、球2、3、4会向对称的三方运动啦！不过，在球1与球2、3、4分开前后它们的运动性质有些不同哦！在球1还未和球2（球3、球4）分开时，可以认为球1相对于球2在作圆周运动(圆心为O2)，其速度为即为球1、球2还有速度关联关系O2O4O3O1Oθv1v2v1v只要找到分离时的v1和O1O，事儿就好办啦！在球1和球2分离的瞬时，仍可视球2相对球1作圆运动，由①、②可

3、解出所以有：向心力仅由其重力沿O1—O2方向的分量提供.现在只有找出分离时的θ，事儿就能办成啦！而θ与O1O又是有对应的关系的……球1下降的高度为由机械能守恒有将v1、v2的表达式代入此式后可解出OO1O2O3O4θ0O2O4O3O1Oθv1v2v1v于是得到球1着地时的速度大小u由自由落体运动规律可求得最后得到N0N′T0ΔTO2O3O4O2O4O1v1v2v4问题1问题2还有两个思考问题：1、如果放上球1前后，球2、球3、球4被细绳紧紧地束缚在一起，放上球1后细绳张力会增加（ΔT）多少？2、球1为啥会在着地前与球2分开？例题2如图，在一竖直固定的圆筒底部连接一根足够长的轻弹簧，弹簧的

4、上方连接一个圆活塞.活塞与筒壁间有摩擦，其间的最大静摩擦力与滑动摩擦力同为活塞所受重力的α倍.开始弹簧处于自由长度状态，活塞静止．随即观察到活塞降落，降落高度可达L.（1）以活塞初始位置为参考点，确定活塞最终可能停留的区域；（2）若观察到活塞的全部运动由两次下降和一次上升运动构成，试确定活塞最终可能停留的区域.(活塞带孔，其上、下方的气体可自由穿越）解因开始时观察到活塞下降，必有活塞的最后停留处必在初始位置的下方（请自行证明之）.（1）需考虑活塞所受的摩擦力向上和向下两种情况时的受力平衡.活塞初始位置在A处，降落高度可达C处，活塞的质量为m，弹簧的劲度系数为k.活塞向下运动时，在A下方l

5、1的B处所受合力为零.活塞向上运动时，在A下方l2的D处所受合力为零.设：（请自行证明之）如果活塞在B~D之外速度为零的话，活塞还会继续运动吗？如果活塞在B~D之间速度为零的话，活塞还会继续运动吗？如果活塞在B~D之外速度为零的话，则还会继续反向运动.如果活塞在B~D之间速度为零的话，便会永远停止.下面确定范围：l1~l2由力的平衡有：在B处：在D处：由能量关系有：①②③比较①、③得：由①、②得：进而得到：这要求：所以活塞最终可能停留的区域为：（2）若观察到活塞的全部运动由两次下降和一次上升运动构成，试确定活塞最终可能停留的区域.Ⅰ、为使活塞有第一次上升运动，要求故要求设活塞可由位置C上

6、升Δl至位置E，在此过程中有功能关系：解出：Ⅱ、为使活塞还有第二次下降运动，要求由此解得：设活塞由位置E下降Δl′至位置H速度为零，在此过程中有功能关系：由此解出：Ⅲ、为使活塞没有第二次上升运动而最终停下来，要求：综合Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ几种情况，可知当活塞将有且仅有两次向下运动和一向上运动．最终可停留在A下方:题后小结本题难在要根据α的大小范围来确定活塞运动的上升下降情况、停留的位置.本题还可进一步研究对某一确定的α,活塞将往返几次、运动的总时间等.圆环相对地面的速度为.2mm例题5如图所示，质量为2m的小环套在水平光滑固定的细杆上，并用长为l的轻绳与质量为m的小球相连，今将轻绳沿水平拉直使小球

7、从与环等高处从静止释放，试问当轻绳与水平杆的夹角为θ时绳中张力T为多大？再用θ=90°时的特殊值检验求得的结果.解θ2mm释放小球后，小球绕环作圆运动，可小环也不会呆着……uvxvy设小球相对地面的速度为由于系统水平方向动量守恒，故有①又由地面参照系中的机械能守恒得②于是，小球相对于圆环的速度为并有③l由①、②、③式解出vx、vy、u，代入得θ2mmuvxvy现在我们该去研究绳中的张力了！θ2mmaTmgma小球相对圆环作圆运动的向