图的最短路径_dijkstra算法

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1、1基本图算法陈嘉庆最短路径问题单源最短路径Single-SourceShortestPath问题:带权有向图G（E,V),找出从给定源顶点s到其它顶点v的权最小路径。“最短路径”=最小权路径的权是路径上所有边的权之和。例：道路图:从华师中山附中到市政府的最短路径?若顶点序列{V0,V1,…,Vn}是从V0到Vn的最短路，则序列{V0,V1,…,Vn-1}必为从V0到Vn-1的最短路。贪心算法权非负的单源最短路径算法（Dijkstra）12345612653723892v5v4v01005601010v1v2v3205030图中从v0到其余各顶点之间的最短

2、路径:v0到v1无v0到v2(v0,v2)10v0到v3(v0,v4,v3)50v0到v4(v0,v4)30v0到v5(v0,v4,v3,v5)60单源最短路径基本思想：将图中所有顶点分成两组:S,V-S一组是包括已确定最短路径的顶点的集合S，另一组是尚未确定的最短路径的顶点集V-S。S初始仅包含源v0,不断在V-S做贪心选择扩充集合S。权非负的单源最短路径算法（Dijkstra）权非负的单源最短路径算法（Dijkstra）初始时,S仅包含源v0,特殊路径：从源到G中某一顶点u且中间只经过S中顶点的路称为从源到u的特殊路径。步骤:(1)取v0加入S中(2

3、)从V-S中取出具有当前最短路径长度的顶点w加入S中。最短路径——Dijkstra算法实例812345612653723892例求下图中顶点1到其余各顶点的最短路径。10123∞∞∞8510364142512(1)初始化:1到v,若有边,则path[v]=边;dist[i]=边的值(2)选出dist[i]为最小值,则path[i]为1到i的最短路径(3)修改经过i更近的路径(4)重复（2）（3）最短路径——Dijkstra算法描述方法如下：（其中：path[v]和dist[v]表示从v0到v的最短路径及其长度）（1）对v0以外的各顶点vi，若<

4、v0,vi>存在，则将其作为v0到vi的（暂时的）最短路径存放到path[v]中，将其权值作为对应的路径长度存放到dist[v]中。（2）从未解顶点中选择一个dist值最小的顶点v，则当前的path[v]和dist[v]就是顶点v的最终解。（3）由于某些顶点经过v可能会使得从v0到该顶点的路径更近一些，因此，应修改这些顶点的路径及其长度的值。（4）重复（2）（3），直到所有顶点求解完毕。9136425最短路径——Dijkstra算法实例顶点pathdist12345610实例：123456126537238920123∞∞∞()(1,2)(1,3)()(

5、)()(1,3,2)85(1,3,4)(1,3,5)10(1,3,4,6)14(1,3,5,6)12Dijkstra算法：一般情况下，Dist[k]=<源点到顶点i的弧上的权值>或者=<源点到其它顶点的路径长度>+<其它顶点到顶点i的弧上的权值>设置辅助数组Dist，其中每个分量Dist[i]表示当前所求得的从源点到其余各顶点i的最短路径的长度。1）在所有从源点出发的弧中选取一条权值最小的弧，即为第一条最短路径。2）修改其它各顶点的Dist[i]值。假设求得最短路径的顶点为u，若Dist[u]+G.arcs[u][i]

6、为Dist[u]+G.arcs[u][i]V0和i之间存在弧V0和i之间不存在弧其中的最小值即为最短路径的长度。单源最短路径Single-SourceShortestPathDijkstra的时间复杂度是O(N2)，它不能处理存在负边权的情况。算法描述：设起点为s，dis[v]表示从s到v的最短路径，pre[v]为v的前驱节点，用来输出路径。a)初始化：dis[v]=∞(v≠s);dis[s]=0;pre[s]=0;b)For(i=1;i<=n;i++)1.在没有被访问过的点中找一个顶点u使得dis[u]是最小的。2.u标记为已确定最短路径3.For与u

7、相连的每个未确定最短路径的顶点vif(dis[u]+w[u][v]

8、点1到某一点V0的最短路径要经过中转点Vi，那么中转点Vi一定是先于V0被确定了