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1、浅谈做数学题不要“做完就完”江苏省如东县大豫镇初级中学陈耀做数学题不要“做完就完”，一道题目做完了，其实还有很多可以再思考的内容。K例1』将六个数字1,1,2,2,3,3排成一排,使得两个1之间有一个数字,两个2之间有两个数字，两个3之间有3个数字。此题的解决并不困难，我们可以采用枚举法。因为两个1Z间有一个数字，这个数字只冇2或3两种可能。如果两个1Z间是2,可以排出三个数字：121,这时左右两侧只能是两个3,即排出了五个数字：31213,还剩下一个2,可以放在左侧或右侧，于是得到木题的两个答案：231213、312132；如果两个1之间是3,可
2、以排出三个数字：131,这时就只能在左侧右侧写2,即2131或1312,而另一个2就无处可放了，这说明两个1之间不能是3。所以本题的答案只能是：231213和312132。题目做完了，我们可以进一步想，如果把本题的六个数改为八个数，UP：1,1,2,2,3,3,4,4,将这八个数排成一排，使得两个几之间就有几个数，能否办到呢?利用前面的方法我们可以很快得到答案：23421314和41312432。再进一步想，如果将数字增加为十个，即：1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,将这十个数字排成一排，使得两个儿之间就有几个数，能否办到呢?这次，经过反复试
3、验，无论我们如何努力也排不出来。这个例子给我们的启示是：也许对于1,1,2,2,3,3,4,4,5,5这十个数来说,上面规定的方法根木就不存在。那么，如何去证明这种排法不存在呢?我们采用“染色”法证明。将这十个数所应占的十个位證进行黑口相间染色。黑色位直和白色位置各占5个。根据题意，每对奇数（如1,1）之间要有奇数个数，每对偶数（如2,2）之间要有偶数个数，则每对奇数所占的位置应为相同颜色的两个位置，而每对偶数所占的位置则为不同颜色的两个位置。一共冇两对共4个偶数，要占据2个黑色位置和2个白色位置。剩下的三对共6个奇数，耍么占6个黑色位置；耍么占4
4、个黑色位置和2个白色位置；耍么占2个黑色位置和4个口色位置；要么占6个口色位置。于是，如果满足题设的要求，则共需要8个黑色位置和2个白色位置；或者6个黑色位置和4个白色位置；或者4个黑色位置和6个白色位置；或者2个黑色位置和8个白色位置。这与黑色位置和白色位置各占5个相矛盾，故满足题设的排法不存在。问题得到了解答。然而，新的问题又一次出现在我们面前,即这种排法有时存在,有时不存在,我们不禁要思考,对于2n个数：1,1,2,2,3,3,……,n,n,当n满足什么条件时，这样的排法存在；当n满足什么条件时，这样的排法不存在呢？我们仍然采用“染色”法来解
5、决这个问题。把n分为偶数和奇数两种惜况分别讨论：1・当n为偶数时，这时冇n个黑色位置和n个白色位置，冇n/2对偶数和n/2对奇数。根据上面的讨论，n/2对偶数将占据n/2个黑色位置和个n/2白色位置，这样就剩Fn/2对奇数，以及n/2个黑色位迸和n/2个口色位置，由于每对奇数需要占据相同颜色的两个位置，因此，剩下的n/2个黑色位置和n/2个白色位置就必须是偶数个，即n/2必须是偶数，这说明n必须是4的倍数。至此，我们可以得出这样的结论，当n为偶数时,只冇n是4的借数时，才能将这2n个数排成两个儿Z间就冇儿个数的一排来。2.当n为奇数时，这时有n个黑
6、色位置和n个白色位置，偶数有(n-l)/2对，奇数有(n-l)/2对，(n-l)/2对偶数将占据(n-1)/2个黑色位置和(n-l)/2个白色位置，这样就剩F(n+l)/2对奇数，以及(n+2)/2个黑色位置和(n+l)/2个白色位置。山于每对奇数需要占据相同颜色的两个位置，因此，剩下的(n+l)/2个黑色位査和(n+l)/2个口色位置就必须是偶数个，即(n+l)/2必须是偶数，这说明n+1必须是4的倍，或者说n是被4除余3的数。至此，我们可以得出这样的结论：当n为奇数时，只有n是被4除余3的数时，才能将这2n个数排成两个几之间就有儿个数的一排來。
7、综合以上分析，我们可以得出如下结论：对于2n个数：1,1,2,2,3,3,……,n,n,当n为4的倍数或者是被4除余3的自然数时，这2n个数就可以排成一排,使得两个几之间就有几个数。例如,当n=7时，排法为:73161345726425或52462754316137,当n=8时，排法为：6274258643751318或8131573468524726。数学问题的解决，作为创造性的思维活动过程，其重要特点是思维的变通性和流畅性。当主体接触的问题难以入手，那么思维不应停留在原问题上，而应将原问题转化成为另一个比较熟悉、比较容易解决的问题，通过对新问题
8、的解决，达到解决原问题的目的。问题转化是数学家特別善丁使用的解题策略，是数学教学小必须予以关注的。作为数学问题解决的策略，
