对彩虹形成原理的定量探究

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1、物理建模论文对彩虹形成原理的探究陕西省宝鸡市宝鸡中学高一5班杨霄指导老师魏宗博【摘要】本文主要应用光的折射模型与一些数学计算，定量探究了彩虹的形成原因，解释了彩虹出现的位置，时间，条件以及生活中的一些特殊现象。【关键词】彩虹折射率彩虹角问题的提出在初中的学习中，老师在物理课上有讲到彩虹的形成是由丁阳光在空气中的小水滴中发生了色散形成了彩虹，可是这样模糊的答案不能解释为什么会是拱形的而且不会和太阳出现在同一侧等问题，在使用数学工具建立模型，进行分析，就可以让更多的同学更加清楚的理解彩虹形成的原理。模型的假设1.空气中悬浮的水滴是规则的球形2

2、.太阳光线是相互平行的3.阳光在水滴中传播所用的时间忽略不记1.把人眼看作一个点2.太阳在水滴中只发生了一次反射模型的建立&问题的解决符号规定太阳光线射入水滴时的入射角/?:太阳光线射入水滴吋的折射角«m:各种色光折射最密集的入射角的大小D(a):太阳光线从射入水滴到射出水滴总偏折角度光线从空气到水中的折射率n：可见光从空气射进水中的折射率0:彩虹角通过查阅一些资料了解到，彩虹在形成的过程屮是由于在水滴屮发生了一次反射两次折射形成的，由此结合光的折射定律就可以到了右图。据此借助数学几何知识可得到以下关系：D（a）=（o_0）+（18O。—

3、20）+（0_0）=180。+2^_40根据折射定律有siiiasin/3所以可得到c・sinqp二arcsinna.w根据查阅的一些资料，我了解到了可见光在水中的折射率大约为n=1.33,将红光的折射率带入上面的表达式可以得到如下图像.在这个图像中我发现，每一束光线经水滴折射后都会有一个偏折角。我把每该函数从0开始自变量每隔10。取一个值，对该区间内D(Q)的变化幅度ADd进行比较，发现，当Q越接近D(a)的最低点，D(a)的变化幅度越小，也就是说，太阳光线从不同角度射入水滴以后，都集中在了D(a)的最低点附近。aD(a)AD(a)01

4、8010169.99210.00820160.3949.59830151.67&72440144.3967.27450139.3295.06760137.4871.84270140.185-2.69880148.919-8.73490164.986-16.067100188.919-23.933110220.185-31.266因此我尝试着对D(a)进行求导，有D@)=2-40@)又因为c・sinap-arcsinnf(x)=arcsinx时有广(x)二cosacosay/n2-sin2a代入上式可得Da)=2-4cosa另D@)=0可

5、得4cos«_nZ—/.—Uy/n2-sin2a又因为sin2cif+cos2a=19n2-1带入可得cos~G=下一经过化简对于折射率为n的光线我们就得到了In2-15=arccosJ^—分别把各种色光的折射率带入上式就可以得到下表namD(a)lL1.32260.0511137.488橙光1.332559.4395137.484黄光1.333159.4047137.484绿光1.334959.3001137.485■1.33959.622137.4841.343558.8014137.479根据太阳光与人的位置，得到了下而的位置关系D

6、(«)rti上图，可以得到关系6>=180°-D(a)据此我算出了o的值如下表色光e42.512橙光42.516黄光42.516绿光42.51542.51642.521由于人眼的位置可以看作是一个点，因此过这个点的所有与太阳的平行光线放到一起就构成了一个圆椎休，如下图听苒经1丈人眼且苣太阳平I亍光目尹甬为e旳光銭构成了一个圆谁由于蓝光，紫光旳e我小，因此在彩虹旳内侧,而红光旳e较大，因而在彩虹外侧由于人眼处在这个圆锥的顶点，而且圆锥的底面是一个圆形，因而彩虹看上去就应该是一个圆圈，并且根据上表中不同色光对应的0值不同，并且从红光到紫光随着

7、波长变短，折射率变大0值一直在减小，这也就解释了为什么看到的彩虹最外层是红色的而紫色在最内侧。我们平时看到的彩虹祁是拱形的，可到现在为止我们计算出来的彩虹还是一个封闭的圆环。是不是在考虑问题的时候漏掉了一些什么。想到太阳的东升西落，而根据我建立的模型，彩虹总是在从人看太阳的另一边，那么太阳到中午时，彩虹不就跑到了脚底下去了么,这显然是不可能的，因此很容易想到，随着阳的升高，彩虹的高度也随Z下降，而我们所观察到的彩虹则只露在天空的那一部分，而当其有一部分下降到地平线一下的时候，在天空上也就剩下这个圆环的一段弧线了，也就是我们所看到的拱形的彩

8、虹。而如果太阳再继续向上升起，彩虹继续下降的话等到其完全在地面一下的话，我们就一点彩虹也看不到了，这也就能够解释为什么彩虹只出现在早晨和傍晚，而在屮午却看不到彩虹的踪影。得出结论我们所看到的彩