《频域奈奎斯特》PPT课件

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1、§5-4奈奎斯特稳定判据闭环控制系统的稳定性由系统特征方程根的性质唯一确定。低阶系统：求解特征根高阶系统：劳斯判据和根轨迹法。奈奎斯特（Nyquist）稳定判据（简称奈氏判据）是判断系统稳定性的又一重要方法。是将系统的开环频率特性与复变函数位于S平面右半部的零、极点数目联系起来的一种判据。奈氏判据是一种图解法，它依据的是系统的开环频率特性。兼有方便和实用的优点，有助于建立相对稳定性的概念。1一、幅角定理幅角定理（映射定理），建立在复变函数理论基础上，是奈氏判据的依据。设有一复变函数（5-105）称之为辅助函数，其中是系统的开环传递函数.通常可写成如下形式（5-106）式中是系统的开环极点，将

2、式（5-106）代入式（5-105）得（5-107）比较式（5—107）和式（5—106）可知，辅助函数的零点等于系统闭环传递函数的极点，即系统特征方程的根。因此，如果辅助函数的零点都具有负的实部，即都位于S平面的左半部，系统就是稳定的，否则系统便不稳定。2假设复变函数为单值，且除了S平面上有限的奇点外，处处都为连续的正则函数,也就是说在S平面上除奇点外处处解析，那么，对于S平面上的每一个解析点，在平面上必有一点（称为映射点）与之对应。例如，当系统的开环传递函数为则其辅助函数是除奇点和外，在S平面上任取一点，如则（一）S平面与平面的映射关系3如图5—37所示，在平面上有点与S平面上的点对应,

3、就叫做在平面上的映射点。图5-37S平面上的点在F(S)平面上的映射4如图5—38所示，如果解析点在S平面上沿封闭曲线（不经过的奇点）按顺时针方向连续变化一周，那么辅助函数在平面上的映射也是一条封闭曲线，但其变化方向可以是顺时针的，也可以是逆时针的，这要依据辅助函数的性质而定。图5-38S平面到F(s)平面的映射5（二）幅角定理（映射定理）设在S平面上，除有限个奇点外，为单值的连续正则函数，若在S平面上任选一封闭曲线s，并使s不通过的奇点，则S平面上的封闭曲线s映射到F(s)平面上也是一F曲线按逆时针方向旋转的周数N（每旋转2弧度为一周），或F按逆时针条封闭曲线F。当解析点s按

4、顺时针方向沿s变化一周时，则在平面上，方向包围F(s)平面原点的次数，等于封闭曲线s内包含F(s)的极点数P与零点数Z之差。即N=P-Z（5—108）在图5—38中,在S平面上有三个极点P1、P2、P3和三个零点Z1、Z2、Z3。被s曲线包围的零点有Z1、Z2两个，即Z=2，包围的极点只有P2，即P=1，由式（5—108）得N=P-Z=1-2=-1说明s映射到F(s)平面上的封闭曲线F顺时针绕F(s)平面原点一周。由幅角定理，我们可以确定辅助函数被封闭曲线s所包围的极点数P与零点数Z的差值P-Z。6的极点数等于开环传递函数的极点数，因此当我们从平面上确定了封闭曲线F的旋转周数N

5、以后，则在S平面上封闭曲线s包含的零点数Z（即系统的闭环极点数）便可简单地由下式计算出来Z=P-N（5-109）封闭曲线s和F的形状是无关紧要的，因为它不影响上述结论。幅角定理的几何图形说明：设有辅助函数为（5-110）其零、极点在S平面上的分布如图5-39所示，在S平面上作一封闭曲线s，s不通过上述零、极点，在封闭曲线s上任取一点,其对应的辅助函数的幅角应为(5-111)7当解析点S1沿封闭曲线s按顺时针方向旋转一周后再回到s1点，所有位于封闭曲线s外面的辅助函数的零、极点指向s1的向量转过的角度都为0，而位于封闭曲线s内的辅助函数的零、极点指向s1的向量都按顺时针方向转

6、过360度（一周）。图5-39Fs8图5-39S平面与F（s）平面的映射关系9二、基于辅助函数的奈氏判据为了分析反馈控制系统的稳定性，只须判断是否存在S平面右半部的闭环极点。为此，在S平面上作一条完整的封闭曲线s，使它包围S平面右半部且按顺时针环绕。如图5—40所示，该曲线包括S平面的整个虚轴（由到）及右半平面上以原点为圆心，半径为无穷大的半圆弧组成的封闭轨迹。这一封闭无穷大半圆称作奈氏轨迹。显然，由奈氏轨迹包围的极点数P和零点数Z，就是F(s)位于S平面右半部的极点数和零点数。图5-40Nyquist轨迹辅助函数的极点等于系统的开环极点，零点等于系统的闭环极点。故若奈氏轨迹中包围的零

7、点数Z=0，系统是稳定的，此时由s映射到平面上的封闭曲线F逆时针绕平面坐标原点的周数应为N=P（5-114）故得应用幅角定理分析系统稳定性的判据如下：s若辅助函数的解析点S沿奈氏轨迹s按顺时针连续环绕一周，它在平面上的映射F按逆时针方向环绕其原点P周，则系统是稳定的。三、基于开环传递函数的奈氏判据用辅助函数来分析系统的稳定性仍然不大方便，实际上，开环传递函数与辅助函数之间的关系非常简单，即（5-11