江苏省2019高考数学二轮复习 专题四 函数与导数 规范答题示例3 导数与不等式学案

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1、规范答题示例3　导数与不等式典例3　(16分)已知函数f(x)＝ax2lnx＋bx＋1.(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x－2y＋1＝0，求f(x)的单调区间；(2)若a＝2，且关于x的方程f(x)＝1在上恰有两个不等的实根，求实数b的取值范围；(3)若a＝2，b＝－1，当x≥1时，关于x的不等式f(x)≥t(x－1)2恒成立，求实数t的取值范围．(其中e是自然对数的底数，e＝2.71828…)审题路线图　→→→→规范解答·分步得分构建答题模板解　(1)f′(x)＝axln

2、x＋ax＋b，由题意知f′(1)＝a＋b＝，且f(1)＝b＋1＝1.2分∴a＝1，b＝0，此时f′(x)＝xlnx＋x(x>0)，令f′(x)＝xlnx＋x>0，得x>，令f′(x)＝xlnx＋x<0，得0

3、－0＋g(x)－－e∴－b∈，∴b∈.8分(3)当a＝2，b＝－1，x≥1时，f(x)＝x2lnx－x＋1≥t(x－1)2恒成立，∴x2lnx－x＋1－t(x－1)2≥0在[1，＋∞)上恒成立，令h(x)＝x2lnx－x＋1－t(x－1)2(x≥1)，则h(x)≥0在x∈[1，＋∞)上恒成立，h′(x)＝2xlnx＋x－1－2t(x－1)，令m(x)＝xlnx－x＋1(x≥1)，则m′(x)＝lnx≥0在x∈[1，＋∞)上恒成立，第一步求导：求导，利用切线方程求a，b，进而求单调区间．第二步求最

4、值：求函数最值得b的范围．第三步讨论：构造函数，并针对不同情况分类讨论，具体问题具体解答．第四步回答：根据问题要求给出恰当的答案.∴m(x)在[1，＋∞)上单调递增，∴m(x)≥m(1)＝0，即xlnx≥x－1在x∈[1，＋∞)上恒成立，10分∴h′(x)＝2xlnx＋x－1－2t(x－1)≥3(x－1)－2t(x－1)＝(3－2t)(x－1)，①当3－2t≥0，即t≤时，h′(x)≥0恒成立，∴h(x)在[1，＋∞)上单调递增，∴h(x)≥h(1)＝0恒成立.12分②当3－2t<0，即t>时，h′

5、(x)＝2xlnx＋x－1－2t(x－1)，令φ(x)＝2xlnx＋x－1－2t(x－1)，则φ′(x)＝2lnx＋3－2t，令φ′(x)＝2lnx＋3－2t＝0，得x＝>1，当1≤x<时，φ′(x)<0，∴φ(x)单调递减，φ(x)≤φ(1)＝0，即h′(x)≤0，∴h(x)单调递减，∴当1分类讨论各得2分和3分．跟踪

6、演练3　(2018·江苏盐城中学考前热身)已知函数f(x)＝ex－c，g(x)＝ax3＋bx2＋cx(a，b，c∈R)．(1)若ac<0，求证：函数y＝g(x)有极值；(2)若a＝b＝0，且函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象有两个相异交点，求证：c>1.证明　(1)g(x)＝ax3＋bx2＋cx，得g′(x)＝ax2＋bx＋c，∵ac<0，∴Δ＝b2－4ac>0且a≠0，∴函数g′(x)有两个零点，则可设为g′(x)＝a(x－α)(x－β)(α<β)，∴若x1<α

7、g′(x2)<0，g′(x2)·g′(x3)<0，∴g(x)有极值．(2)由ex－c＝cx，得ex－cx－c＝0，记h(x)＝ex－cx－c，则h′(x)＝ex－c，由函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象有两个相异交点知函数h(x)有两互异零点．若c≤0，则h′(x)>0，h(x)单调递增，则h(x)最多有1个零点，矛盾，∴c>0，此时，令h′(x)＝0，则x＝lnc，当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：x(－∞，lnc)lnc(lnc，＋∞)h′(x)－0＋h(x)∴h(x)mi

8、n＝h(lnc)＝－clnc<0，∴c>1.