高数极限巧解例析_modi

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1、高数极限巧解例析求解函数的极限，历来是高数考试的必考内容，这其中，型与型的未定式求极限，更是考察测试的重点方向。在此例析一些解题诀窍，与众网友共同探讨交流。一、巧用等价无穷小替换求极限1.解：本题求极限，如果用好等价无穷小替换，将会非常轻松，易如反掌。解法如下：原式＝（）2.解：本题属于型未定式，可能很多人第一个想到的就是用洛必达法则，这道题如若用该法则求导，计算量将会非常大，算式也会变得十分复杂，极易出错。有兴趣的同学不妨试一试，看看求导后的函数表达式会是怎样的。对于本题，如果采用等价无穷小替换求极限，将会容易得多，具体解题过程如下：由于，30所以可得原式＝＝[注：]＝＝1.解：本题求极

2、限，首先用倒代换将函数变形，然后再运用等价无穷小替换。详细步骤如下：令，则原式＝＝＝＝[注：]＝＝（注意：本题不可用洛必达法则求极限，因为属于离散变量，不能求导。）301.解：本题为型未定式，洛必达法则可作为备选方法之一，但巧用等价无穷小替换将会收到事半功倍的效果。求解过程如下：原式＝[注：]＝＝2.解：本题求极限，首先应排除用洛必达法则，因为n是非连续变量，不可求导，若巧用等价无穷小替换，无疑是非常明智的选择。解题过程如下：令，则原式＝＝＝＝＝＝[注：]＝30＝1.解：本题看似复杂，如能巧用等价无穷小替换，计算将会变得相当简单。详细过程如下：原式＝2.解：本题属于型未定式，如果用洛必达法

3、则求极限，其计算量相当大，推荐采用等价无穷小替换。解题过程如下：，原式＝＝[注：]＝[注：]＝[注：]30＝＝＝[注：]＝＝1.解：本题属于幂指函数，宜先利用自然对数将表达式变形，再设法运用等价无穷小替换求出极限。解题过程如下：令，则原式＝＝[注：]＝＝2.30解：本题求极限，若用洛必达法则，算式将会非常复杂，采用等价无穷小替换则会很简便。求解过程如下：原式＝[注：]＝＝[注：函数分子等价无穷小替换。]＝[注：]＝＝如果有的网友对上面的求解过程不太理解，也可采用下面的方法。详细过程如下：原式＝＝＝[注：]＝＝301.解：本题同上面的第9题类似，巧用等价无穷小替换依然是优先选择。解题过程如下

4、：原式＝[注：]＝＝[注：]＝[注：]＝＝另外，本题也可采用如下方法计算：原式＝[注：]＝[注：]＝＝＝30二、用等价无穷小替换求解加减运算函数极限的甄别探讨众所周知，等价无穷小替换多用于乘除运算函数表达式的求极限，对于函数表达式为加减运算的，讲义或教科书更多的是强调不可替换，建议改用别的方法。事实上，如果找对方法，很多的加减运算函数求极限，也是可以采用等价无穷小替换的。下面看一些实例：1.解：本题求极限难度很低，问题的核心在于，能否将函数的分子直接替换成，答案显然是肯定的。解析如下：如果对上面的结果不放心，我们可运用洛必达法则验证如下：通过上面的例子我们可以得出结论：对于表达式为加减运算

5、的函数求极限，采用等价无穷小替换后，如果函数表达式的分子与分母同阶并且极限存在，即可替换。这里要说明的是，分子与分母同阶并不能保证极限一定存在，如，这里30同阶，但极限不存在；另外，极限存在也不要求分子分母同阶，如，这里分子为2价，分母为1阶。分子分母不同阶，但极限存在。1.解：本题我们仍然采用无穷小替换，看结果如何。最后得到的极限值为0，非常遗憾，这一答案是错误的。因为替换后函数表达式的分子为1阶，分母为3阶，分子分母不同阶，且极限为，也即极限不存在，因此，不能用无穷小替换。本题可用洛必达法则求解：2.解：本题函数的分子为加减运算，此处可以直接采用等价无穷小替换。30现在，用洛必达法则验

6、证上面的计算是否正确：（正确）1.解：本题的分子和分母均包含有加减运算，但仍可大胆采用等价无穷小替换。详细步骤如下：下面用教科书上推荐的解法（分子“有理化”）予以验证：原式＝＝＝＝（正确）2.30解：本题函数表达式的分子分母同样均包含有加减运算。此处我们仍然采用等价无穷小替换法求解函数极限。详细步骤如下：（1）对函数表达式的分子，作如下的变换：（2）对表达式的分母，进行下面的变形：因此可得：原式＝＝＝＝[注：]下面用洛必达法则对计算结果进行验证：＝30＝＝2（正确）1.解：本题求极限，无论是洛必达法则、泰勒展开式或者微分中值定理等，在这里都不太给力，等价无穷小替换可以说是不二之选。运算过程

7、如下：（1）对函数的分母作如下替换：（2）对函数的分子作下面的替换：所以，求得极限为：为验证答案是否正确，此处仍然采用洛必达法则。验证过程如下：原式＝30＝1（正确）1.解：本题求极限，仍然推荐采用等价无穷小替换，具体过程如下：原式＝＝[注：]＝＝对于答案是否正确，此处运用拉格郎日中值定理进行验证：设，则可得到原式＝（注：介于之间。），。因此可得30原式＝＝＝＝（正确）1.解：本题的传统算法是将函数表达式的分子有理化（隐