2019届高考数学二轮复习 专题三 第2讲 空间中位置关系的判断与证明（文）学案

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1、第2讲空间中位置关系的判断与证明1．以几何体为载体考查空间点、线、面位置关系的判断，主要以选择、填空题的形式，题目难度较小；2．以解答题的形式考查空间平行、垂直的证明，并常与几何体的表面积、体积相渗透．1．直线、平面平行的判定及其性质(1)线面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α．(2)线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b．(3)面面平行的判定定理：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β．(4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b．2．直线、平面垂直的判定及其性质(1)线面垂直的判定定理：m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥

2、m，l⊥n⇒l⊥α．(2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b．(3)面面垂直的判定定理：a⊂β，a⊥α⇒α⊥β．(4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β．热点一　空间点、线、面位置关系的判定【例1】　(2018·保定期末)已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则的一个充分条件是（）A．，B．，，C．，，D．，，解析由a，b是两条不同的直线，是两个不同的平面，在A中，，，则a与b相交、平行或异面，故A错误；在B中，，，，则a与b相交、平行或异面，故B错误；在C中，由，，则，又，由线面垂直的性质可知，故C正确；在D中，，，，则a与b相交、平行或异面

3、，故D错误．答案　C探究提高　判断与空间位置关系有关的命题真假的方法：(1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断．(2)借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结合有关定理，进行肯定或否定．(3)借助于反证法，当从正面入手较难时，可利用反证法，推出与题设或公认的结论相矛盾的命题，进而作出判断．【训练1】(2017·广东省际名校联考)已知α，β为平面，a，b，c为直线，下列命题正确的是(　　)A．a⊂α，若b∥a，则b∥αB．α⊥β，α∩β＝c，b⊥c，则b⊥βC．a⊥b，b⊥c，则a∥cD．a∩b＝A，a⊂α，b⊂

4、α，a∥β，b∥β，则α∥β解析　选项A中，b⊂α或b∥α，不正确．B中b与β可能斜交，B错误．C中a∥c，a与c异面，或a与c相交，C错误．利用面面平行的判定定理，易知D正确．答案　D热点二　空间平行、垂直关系的证明【例2】　(2018·聊城一中)如图，在四棱锥中，平面PCD⊥平面ABCD，，，．（1）求证：平面PAD⊥平面PBC；（2）求直线PB与平面PAD所成的角；（3）在棱PC上是否存在一点E使得直线平面PAD，若存在求PE的长，并证明你的结论．证明(1)因为，所以,四边形为直角梯形,，又，满足，∴，又，，，∴，又∵，∴，∵，，，∴，∵∴平面PAD⊥平面PBC.(2)取CD

5、的中点H，连接BH,PH,作于G，如图，在四边形ABCD中，，，所以为正方形，所以；因为平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD平面ABCD=CD，所以平面；所以，.因为，所以；在直角三角形中，，所以，又，所以平面，所以到平面的距离等于；设直线PB与平面PAD所成的角为，则，即直线PB与平面PAD所成的角为，(3)存在为中点，即满足条件,证明如下：取中点，连接.如图，因为分别是的中点，所以且，所以且，即为平行四边形，所以;因为平面，平面，所以平面，此时．探究提高　垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型．(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行．(2)证明线面垂直，需转化

6、为证明线线垂直．(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．(4)证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直．【训练2】(2017·成都诊断)如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，BD与EF交于点H，点G，R分别在线段DH，HB上，且＝．将△AED，△CFD，△BEF分别沿DE，DF，EF折起，使点A，B，C重合于点P，如图2所示．图1　　　　　　　图2(1)求证：GR⊥平面PEF；(2)若正方形ABCD的边长为4，求三棱锥P－DEF的内切球的半径．(1)证明　在正方形ABCD中，∠A，∠B，∠C为直角．∴在三棱锥P－DEF中，PE，PF，PD两

7、两垂直．又PE∩PF＝P，∴PD⊥平面PEF．∵＝，即＝，∴在△PDH中，RG∥PD．∴GR⊥平面PEF．(2)解　正方形ABCD边长为4．由题意知，PE＝PF＝2，PD＝4，EF＝2，DF＝2．∴S△PEF＝2，S△DPF＝S△DPE＝4．S△DEF＝×2×＝6．设三棱锥P－DEF内切球的半径为r，则三棱锥的体积为VP－DEF＝×PD·S△PEF＝(S△PEF＋2S△DPF＋S△DEF)·r，解得r＝．∴三棱锥P－DEF的内切球的半径为．1．(2017·全国Ⅰ卷)如