2019-2020年高二数学直线和平面平行与平面和平面平行同步辅导教材 人教版

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1、2019-2020年高二数学直线和平面平行与平面和平面平行同步辅导教材人教版一、本讲进度第九章直线、平面、简单几何体9．3直线和平面平行与平面和平面平行二、主要内容1、直线和平面的位置关系，直线和平面平行的判定和性质；2、两个平面平行的性质和判定。三、学习指导1、直线和平面的位置关系用二分法分类直线l和平面α2、由于“平面”这个基本图形的引入，空间元素的位置关系在线与线的基础上，增加了直线和平面，平面与平面的位置关系，本小节主要研究直线和平面以及平面和平面无公共点的位置情形——平行。在研究“平行”位置关系时，

2、应突出一个转化的思想。如通过判定定理线线平行转化为线面平行，线面平行转化为面面平行，通过性质或性质定理，上述关系可以逆转化。具体如下表：平行关系的判定：条件结论线线平行线面平行面面平行线线平行公理4线面平行的性质定理面面平行的性质定理线面平行线面平行的判定定理——若α∥β，aα，则a∥β面面平行面面平行判定定理的推论面面平行的判定定理若α∥β，β∥γ，则α∥γ3、在立体几何中，除了需要添加辅助线外，通常还需要添加辅助平面。而且辅助线往往是依附在辅助平面上的。例如在证明a∥α时，需要在α内找一条直线b，使得b∥

3、a。这条辅助直线b的作法应该是：过直线作一辅助平面β，β与α的交线即为所找直线b，图形如下：这种“欲作辅助线，先作辅助平面”的思考方法在后面学习过程中还会经常用到，希同学们理解、掌握。在这里，它还反应了性质定理与判定定理的内在联系。构造辅助平面的依据是公理三及其三个推论。四、典型例题例1、P是平行四边形ABCD所在平面外一点，Q是PA中点，求证：PC∥平面BDQ。分析：为了在平面BDQ内找到一条与PC平行的直线，只要设法过PC作一个与平面BDQ相交的平面β，则β与平面BDQ的交线即为所求直线。∵PA∩PC=P

4、∴PA、PC可确定平面PAC连AC，设AC∩BD=O则O∈AC，O∈BD∴O∈平面PAC，O∈平面QBD又Q∈PA∴Q∈平面PAC，Q∈平面QBD∴平面PAC∩平面BQD=OQ这就找到了过PC的辅助平面PAC与平面BDQ的交线OQ，下证OQ∥PC即可。∵O为平行四边形ABCD对角线的交点∴O为BD中点又Q为PA中点∴OQ∥PC又OQ平面BQD∴PC∥平面BQD注：1、本题通过两条相交直线PA、PC构造出了辅助平面PAC；1、在证明PC∥OQ时，利用中位线定理；2、本题还可以通过构造辅助平面，利用面面平行的性质

5、证明。延长AB至E，使AB=BE，连PE、CE∵B为AE中点∴BQ∥PE∵BECD∴BD∥EC又BQ∩BD=B∴平面BDQ∥平面PCE∴PC∥平面BDQ3、在3中，若再延长EC与AD，设它们的交点为F，则一定有平面BDQ∥平面PEF。4、由上面两种证法可知，构造辅助平面在立体几何证明中的重要性。例2、两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM=FM，求证：MN∥平面BCE。分析：由例1的分析可知，解题的关键是如线在直线MN的基础上构造辅助平面。法一：利用线面平行的判断定理

6、根据构造平面的位置差异，又有下列几种途径：途径一：辅助平面由AC与MN确定延长AN交BE延长于G，连CG，CG为辅助平面CAN与平面BCE的交线，下证CG∥MN。∵AF∥BE∴∵FN=AM，FB=AC∴NB=MC∴∴该等式中的线段均在同一平面内∴MN∥CG途径二：辅助平面与MN由BF确定，延长BM交AD于H，连FH，下证FH∥MN。类似于途径一。略途径三：分别过M、N作MM1⊥BC，NN1⊥BE，M1、N1为垂足。辅助平面由MM1与NN1构造，M1N1为辅助平面MM1N1N与平面BCE的交线，下证MN∥M1N

7、1。∵MM1∥AB∴①∵NN1∥EF∴②∵AC=BF，AM=FN∴CM=BN又AB=EF∴由①②得MM1=NN1∴MM1N1N为平行四边形∴MN∥M1N1∴MN∥平面BCE法二；利用面面平行的性质此时，同样要在MN基础上构造与平面BCE平行的辅助平面过M、N分别作AB的垂线，设垂足分别为M2、N2∵MM2∥CB∴∵NN2∥AF∴∵AM=FN，AC=FB∴AM2=AN2∴M2与N2重合∴平面MM2N∥平面BCE∴MN∥平面BCE注：平面几何知识是学好立体几何的基础之一，在运用平面几何知识时，应在相关元素在同一平

8、面的前提下进行，否则可能发生错误。如本题运用的平行线分线段成比例定理。例3、P是△ABC所在平面外一点，A’，B’，C’分别是△PBC，△PCA，△PAB的重心，（1）求证：平面A’B’C’∥平面ABC；（2）求S△A’B’C’：S△ABC。分析：根据判定定理，欲证面面平行，应先证线面平行，而线线平行又是线面平行的基础，就本题而言，应从容易把握的线线平行着手。连PC’，PA’，PB’分别交AB，BC