高中数学解题思维策略2

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1、=5+2/(z),a⑵表z的虚部).2max=9,/.

2、z-z

3、max=3.数学思维的反思性一、概述数学思维的反思性表现在思维活动中善于提出独立见解，精细地检查思维过程,不盲从、不轻信。在解决问题时能不断地验证所拟定的假设，获得独特的解决问题的方法，它和创造性思维存在着高度相关。本讲重点加强学生思维的严密性的训练，培养他们的创造性思维。二、思维训练实例(1)检查思路是否正确，注意发现其中的错误。Y例1已知f(x)=ax+~,若一35/(1)50,3

4、-3

5、12解得：^=-[2/(2)-/(!)],/7=-[2/(1)-/(2)],.・./⑶=3°+*；/(2)-詁(1).把.f⑴和/⑵的范围代入得—

6、路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。例2证明勾股定理：已知在ABC中，ZC=90°,求证c2=a2+b2.错误证法在RtAABC中，sin=—,cosA=—,而sin，A+cos?4=1,cc:.(―)2+(-)2=1,即c?=a2+b2.cc错误分析在现行的中学体系中，sin2A+cos2A=1这个公式本身是从勾股定理推出来的。这种利用所要证明的结论，作为推理的前提条件，叫循环论证。循环论证的错误是在不知不觉中产生的，而且不易发觉。因此，在

7、学习中对所学的每个公式、法则、定理，既要熟悉它们的内容，又要熟悉它们的证明方法和所依据的论据。这样才能避免循环论证的错误。发现本题犯了循环论证的错误，正是思维具有反思性的体现。(1)验算的训练验算是解题后对结果进行检验的过程。通过验算，可以检查解题过程的正确性，增强思维的反思性。例3已知数列｛%｝的前斤项和S“=2"+l,求0“.错误解法an=S”一S-]=(2”+1)-(2心+1)=2n一2心=2心错误分析显然，当〃时，4=S]=3h2i=1,错误原因，没有注意公式a=S”-S_]成立的条件是n>

8、2(ngN).因此在运用an=Sn-Sn_｛时,必须检(v(n=n验斤=1时的情形。即：an=1[Sn(n>2,neN)例4实数a为何值时，圆x2+y2-2ax+a2-=0与抛物线y?二丄兀有两个公2共点。错误解法将圆x2+y2-2ax+a2-1=0与抛物线于=丄兀联立，：;肖去y,得x2-(2°—)x+—1—0(x>0).2因为有两个公共点，所以方程①有两个相等正根，得2a-->01a2-l>0.解之，得诗错误分析个公共点。(如图2-2-1;2-2-2)显然，当°=0时，圆与抛物线有两个相等

9、正根。当方程①有一正根、一负根时，得］:解之，得a2-i<0.因此当°=口或一lvdvl时，圆x2+y2-2ax+a2-1=0与抛物线『'二丄兀82有两个公共点。思考题：实数Q为何值时，圆x2+y2-2ax--a2-1=0与抛物线)/=*兀，(1)有一个公共点；(2)有三个公共点；(3)有四个公共点；(4)没有公共点。养成验算的习惯，可以有效地增强思维反思性。如：在解无理方程、无理不等式；对数方程、对数不等式时，由于变形后方程或不等式两端代数式的定义域可能会发生变化，这样就有可能产生增根或失根，因

10、此必须进行检验，舍弃增根,找回失根。(3)独立思考，敢于发表不同见解受思维定势或别人提示的影响，解题时盲目附和，不能提出自己的看法，这不利于增强思维的反思性。因此，在解决问题时，应积极地独立思考，敢于对题目解法发表自己的见解，这样才能增强思维的反思性，从而培养创造性思维。例530支足球队进行淘汰赛，决出一个冠军，问需要安排多少场比赛？解因为每场要淘汰1个队，30个队要淘汰29个队才能决出一个冠军。因此应安排29场比赛。思路分析传统的思维方法是：30支队比赛，每次出两支队，应有15+7+4+2+1=2

11、9场比赛。而上面这个解法没有盲目附和，考虑到每场比赛淘汰1个队，要淘汰29支队，那么必有29场比赛。例6M•方程X，-2x+3=cosx.考察方程两端相应的函数y=(x-1)2+2,y=cosx,它们的图象无交点。所以此方程无解。例7设Q、0是方程兀2_2d+k+6=0的两个实根，则(&一1)2+(0-1)2的最小值是()49(A)—(B)&(C)18;(D)不存在4思路分析本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当。利用一元二次方程根与系数的关系易得：&+0=2