斜率单变点分析

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1、m-—aim—O1B-■111•1■11-f-a地质灾害调查与幽测技爪方法论、乂集斜率单变点分析王建锋（中国科学院力学研究所，北京，100080）【摘要】在自然界、社会、经济等领域内，突变现象很常见。若系统的倦岀序列在某未知时刻起了突然变化，则该时刻即称为变点。变点统计分析的目的是判断变点的存在，确定其位置和个数等。已有的变点分析包括均质变点分析、既率变点分析和模型参数变点分析等。本文提岀斜率变点的新概念，它是指曲线斜率加（减）速变化最大的点。本文还结合几个不同类型的实例，提出了寻求单一斜率变点的回归系

2、数二阶差分方法。它可对单调性和凹凸性均单一的曲线求其“转折点”。实例表明，该法具有简单、直观、有效等优点。【关簽词】变点分析斜率变点回归系数1前言在自然界、社会、经济等领域内，突变现象很常见，且很重要。研究突变是否发生，何时发生等问题，有助于拿握事件或过程的演化规律，尤其是灾害发生发展规律，从而为灾害的预报、预防和治理提供依据。系统的输岀序列在某未知时刻起了突然变化，该时刻即称为变点。变点统计分析的目的是判断和检验变点的存在、位置、个数，并估计出变点的跃度。变点统计分析对定疑分析各种监测数据，研究各种地

3、质灾害的规律等，都是个强有力的工具。变点分析又分为均值变点分析、概率变点分析以及模型参数变点分析等⑴。某一时刻前、后数据的均值（或概率分布，或某模型参数）发生了显著改变，则该时刻就称为均值（或概率,或某模型参数）变点。但地质问题中还常遇到一条曲线逐渐上升，在某时刻以后突然加速上升;有时遇到一条曲线开始加速下降，到某点以后突然滅缓速度下降而逐渐趋于平缓。还有的曲线开始缓速下降，到某点后突然转为快速沿斜线下降。由于这一突然转变的“转折点”是一类厳要的特征点，往往与特定问题的特定物理盘义相联系，因此准确地确定

4、该变点是重要的。此类“转折点”，本文称其为曲线的斜率变点，简称斜率变点。本文拟结合岩土体表面蠕变曲线如何寻找第二阶段和第三阶段分界点的问题，求土体特性指标的相关距离5（或&）中如何寻找方差折滅函数的突然趋缓的“转折点”问题，以及根据e・IgP曲线求前期固结压力Pc的问题，来进行斜率变点分析论述。2寻找单一斜率变点的基本原理先研究最简单的斜率变点问题。假定已知一条曲线中有且只有一个斜率变点，问题是如何找到一种方法可简单、定址、准确地确定此变点。一般的，大多数的测量数据都呈离散的数据点对，并且当测駅时间间隔

5、絞长时，不易形成能真实反映过程变化的连续曲线。因此，多数观测序列不易用曲线方程表达，因而就无法用微积分求导数的方法求岀各点处的斜率，只能用求某点两侧一些相继数据点的线性回归系数的方法近似地求出某肘刻点（或距离点）两侧较短时间间隔（或距离）内曲线的斜率。这是因为在较矩的时间间隔（或距离）内，曲线是近似直线的。某点两侧曲线斜率之差可反映该点芮侧斜率变化的幅度，这可说是用到了一阶差分。但这里拟找的“转折点”并不是斜率变化鼠大的点,而是斜率局部加（减）速变化最大的点。在监测时间是等时间间隔（或等间距）的条件下，

6、斜率变化幅度的二阶差分就反映了斜率变化的加（减）速度。通过寻找斜率变化的加（减）速度局部极大值的方法，就可找出斜率变点所落在的单位区间。然后，再用类似于求分组数据众数的方法，便可定就地求出斜率变点的估计值了。3寻找单一斜率变点的方法和步骤以下结合3个不同类型的实例，介绍寻找单一斜率变点的方法和步骤。itb质灾宙调査、监测理论600400200Z23.392522262728日期〃d例1.日本Tohoku铁道线上Asamushi滑坡的累计位移监测数据⑵如表1所示（数据由图1啟出）。表1日本Tohoku铁路

7、线Asamushi滑坡累计位移时间"天累计位移D时间"天累卄位移D1966.7mm1966.7mm21.0024.5184.5721.522.2925.0240.0022.045.7125.5302.8622.568.0026.0361.1423.091.4326.5422.8623.5114.2927.0577.1424.0144.008()0图1日本Tohoku铁路线Asamushi滑坡时间一累计位移曲线变点分析结果这是由滑坡表面测得的位移一时间曲线，它明显包含了第二、第三蜻变阶段的数据。第二阶段的

8、曲线段近似直线，反映岀等速蠕变特征；但第三阶段则是加速蠕变阶段，其曲线明显加速上扬（图1）。这就是说，在这个例子中，已知包含且只包含一个斜率变点，只要能找到斜率局部加速变化最大的点，那么就意味着找到了这个斜率变点了。以下分步介绍寻找这个变点的回归系数二阶差分法。（1）取定探索点：由于监测数据是竽时间间隔的，为此选取两个相邻观测时间点的中点为探索点，构成探索点序列。如例1中的探索点序列为"=21.25,21.75,22.25,22.75,23