数值分析插值报告(新)

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1、目录第1章插值法的研究11.1插值法的简介11.2插值法的相关概念21.3插值法的相关理论21.4插值法的国外研究进展31.5插值法的国内研究现状3第2章算法研究42.1多项式研究42.2拉格朗日插值52.2.1拉格朗F1插值法典型例题及其解法62.3牛顿插值72.3.1牛顿插值法典型例题及其解法82.4龙格现象92.5分段线性插值多项式122.5.1分段线性插值122.5.2分段三次艾尔米特插值132.6三次样条插值162.6.1样条函数162.6.2三次样条函数162.6.3三次样条函数插值162.7插值方法的比较18第3章插值法的

2、应用193.1插值法在所学专业的应用193.2插值法在其他专业的应用19第4章算法展望204.1插值方法在所学专业的展望20第5章附录21插值法及其应用研究第一章插值法的描述1・1、插值法的简介在许多实际问题及科学研究中，因素之间往往存在着函数关系，然而，这种关系经常很难冇明显的解析表达，通常只是由观察与测试得到一些离散数值。冇时，即使给出了解析表达式，却由于表达式过于复杂，不仅使用不便，而且不易于进行计算与理论分析。解决这类问题的方法冇两种：一种是插值法，另一•种是拟合法。插值法是--种古老的数学方法，它来自生产实践，早在一千多年前，

3、我国科学家在研究历法上就应用了线性插值与二次插值，但它的基本理论却是在微积分产生Z后才逐渐完善的，其应用也日益增多，特别是在计算机软件中，许多库函数，女llsinx,cosx,^等的计算实际上归结丁•它的逼近函数的计算。逼近函数一般为只含有算术运算的简单函数，如多项式、有理分式（即多项式的商）。在工程实际问题当屮，我们也经常会碰到诸如此类的函数值计算问题。被计算的函数有时不容易直接计算，如表达式过于复朵或者只能通过某种手段获取该函数在某些点处的函数值信息或者导数值信息等。因此，我们希累能用一个“简单函数”逼近被计算函数，然后用该简单函数

4、的函数值近似替代被计算函数的函数值。这种方法就叫插值逼近或者插值法。插值法要求给出函数的一个函数表，然后选定一种简单的函数形式，比如多项式、分段线性函数及三角多项式等，通过已知的函数表来确定一个简单的函数P（x）作为/（兀）的近似，概括地说，就是用简单函数为离散数组建立连续模型。1・2、插值法的相关概念插值法又称“内插法”，是利用函数/(X)在某区间屮若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数/(X)的近似值，这种方法称为插值法。插值法的i般定义：设函数y=/O)在区间［a,b］上有

5、定义，且已知在点a

6、须有试验数据或者观测数据，根据这些数据希望找到某种内在规律的数量关系，从而确定出实际问题中存在的函数关系。应用插值法就可以做到这些数学理论上期望。插值问题的提法：已知川+1个节点(y)，(j=o丄…,川，其中厂互不相同，不妨设a=x(}<再<•••<£=b),求任一插值点x*Xj)处的函数值y*o节点“J视为由y=g(x)产纶，g(x)表达式复朵或无解析形式或者未知。求解插值问题的基本思路：构造一个相对简单的函数f(x^g(x)通过全部节点，BP：/up=>>(；=0,1,--,/?)再用/(兀)计算插值，即/=/(/)0插值多项式具有

7、：存在性、唯一性、收敛性。1.4,插值法的国外研究进展插值理论是在17世纪微积分产生以后才逐步发展的，牛顿的等距节点插值公式及均差插值公式都是当时的重要成果。18世纪，拉格朗日给出了更一般的非等距节点上的插值公式。近半卅纪由于计算机的广泛使用和造船、航空、精密机械加工等实际问题的需要，使插值法在理论上和实践上得到进一步发展，尤英是20世纪40年代后发展起來的样条插值，更获得广泛应用，成为计算机图形学的基础。在近代，插值法是观测数据处理和函数制表所常用的工具，又是导出其他许多数值方法(例如数值积分、非线性方程求解、微分方程数值解等)的依据

8、。1.5.插值法的国内研究现状插值法是一种占老的数学方法，它來口生产实践•早在一千多年丽，我国科学家在研究历法时就应用了线性插值与二次插值，但它的基本理论却是在微积分产生以后才逐步完善的，其应用也日益广泛.