国家集训队2009论文集组合游戏略述——浅谈

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1、组合游戏略述——浅谈组合游戏的若干拓展及变形石家庄二中北校区高三18班贾志豪2021/7/15石家庄二中贾志豪第2页内容概述contentintroduction组合游戏的规则拓展走完最后一步者输——Anti-SG游戏和SJ定理可以将一堆石子分成多堆——Multi-SG游戏每一个可移动的棋子都要移动——Every-SG游戏组合游戏的模型变形翻硬币游戏无向图删边游戏每一个可移动的棋子都要移动——Every-SG游戏无向图删边游戏2021/7/15石家庄二中贾志豪第3页Every-SG游戏何为Every-SG游戏？？？有N个单一游

2、戏，游戏者轮流进行决策；游戏者的决策必须满足：对于所有还没有结束的单一游戏，游戏者必须对该单一游戏进行一步操作；无路可走者输怎么办？怎么办？？怎么办？？？2021/7/15石家庄二中贾志豪第4页Every-SG游戏贪心策略：对于某一个单一游戏，如果当前是先手必胜局，那么先手不会放弃游戏的胜利！！！那么，游戏者需要做的，就是让自己可以取得胜利的游戏尽可能长的玩下去，让自己不能取得胜利的游戏尽可能短的玩下去！！！2021/7/15石家庄二中贾志豪第5页Every-SG游戏解决方法：对于SG值为0的点，我们需要知道最少几步能将游戏带

3、入终止状态；对于SG值不为0的点，我们需要知道最多几步游戏会被带入终止状态；以上两个值，我们都用step来表示2021/7/15石家庄二中贾志豪第6页Every-SG游戏结论：先手必胜当且仅当step值最大的单一游戏为先手必胜游戏思考：step值最大的既有先手必胜游戏，又有先手必败游戏时，是否意味着平局？？？所有先手必胜的游戏的step值为奇数！所有先手必败的游戏的step值为偶数！2021/7/15石家庄二中贾志豪第7页Every-SG游戏发现宝藏（长与短的博弈）一般的组合游戏只有输与赢的博弈；而Every-SG游戏又增加了

4、长与短的博弈，这使得Every-SG游戏更有嚼头，更有味道输赢长短2021/7/15石家庄二中贾志豪第8页CuttingEdges游戏退化版：给出一个有N个点的树，有一个点作为树的根节点。游戏者轮流从树中删去边，删去一条边后，不与根节点相连的部分将被移走。谁无边可删谁输如何做？如何做？？如何做？？？2021/7/15石家庄二中贾志豪第9页CuttingEdges游戏从树结构入手??树结构是一种特殊的拓扑结构从最简单的例子入手??根节点只有一个分支2021/7/15石家庄二中贾志豪第10页考虑：已知左图的SG值，如何求右图的SG

5、值CuttingEdges游戏根节点G’G’图根节点中间节点G’G图由特殊例子给出猜想：SG(G)=SG(G’)+12021/7/15石家庄二中贾志豪第11页CuttingEdges游戏证明猜想（数学归纳法）即证：它的后继状态的SG值为0到SG(G')的所有值；以树中节点个数作为阶段；一个节点和两个节点显然成立；假设N个节点时成立，情况一：若去掉与根节点相连的边根节点中间节点G’G图2021/7/15石家庄二中贾志豪第12页CuttingEdges游戏情况一：若去掉与根节点相连的边G’根节点中间节点G’根节点中间节点SG值为0

6、2021/7/15石家庄二中贾志豪第13页CuttingEdges游戏证明猜想（数学归纳法）以树中节点个数作为阶段；一个节点和两个节点显然成立；假设N个节点时成立，情况一：若去掉与根节点相连的边情况二：若去掉G’中的边2021/7/15石家庄二中贾志豪第14页CuttingEdges游戏情况二：若去掉G’中的边G’根节点中间节点根节点中间节点G’SG值不确定2021/7/15石家庄二中贾志豪第15页CuttingEdges游戏根节点G’SG值为0到SG(G’)-1，取不到SG(G’)至多有N-1个点根节点中间节点G’至多有N个

7、点SG值为1到SG(G’)，取不到SG(G’)+1考虑左图的SG值意味着什么？？由归纳假设定理：SG(G)=SG(G’)+12021/7/15石家庄二中贾志豪第16页CuttingEdges游戏更复杂的情况G’1………G’2G’T根节点2021/7/15石家庄二中贾志豪第17页CuttingEdges游戏根据树结构的拓扑性试着去对G图进行拆分拆法一（一般树形结构拆法）G’1……G’2G’T…G’1G’2G’T不够本质！！！2021/7/15石家庄二中贾志豪第18页CuttingEdges游戏试着去对G图进行拆分拆法二（很大胆的

8、尝试）G’1……G’2G’T…G’1G’2G’T十分完美！！！2021/7/15石家庄二中贾志豪第19页CuttingEdges游戏完美在哪了？？？哦。。。对应NIM取石子模型！！！G’1……G’2G’T…G’1G’2G’T十分完美！！！2021/7/15石家庄二中贾志豪第2