【论文】极限求解的若干方法

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1、摘要：高等数学是以函数为研究对象，以极限理论和极限方法为基本方法，以微积分学为主耍内容的一门学科，极限理论和极限方法在这门课程屮占有极其重要的地位。高等数学许多深层次的理论及其应用都是极限的延拓和深化，如连续、导数、微积分等等都是由极限定义的，离开了极限的思想高等数学就失去了基础失去了价值，因此极限运算是高等数学的基本运算。极限理论是一种近代发展起来的重要数学思想，也是数学分析的基础和首要的教学内容。极限理论所研究的是变量在其变化过程中的趋势问题，在数学分析课程教学屮所讨论的极限问题大体上分为两

2、类：一类是数列的极限，它是微积分的基础,贯穿于微积分学的始终，是微积分学的重耍研究方法。数列极限是极限理论的重要组成部分，而数列极限的求法可以通过定义法，两边夹法，单调有界法，施笃兹公式法等方法进行求解。另一类是函数的极限，它也是微积分学屮的一个关键问题，是学习的主要内容之一，对函数极限概念的理解及对函数极限求法的掌握至关重耍。求极限是数学分析屮困难问题z—,+心问题有两个：一、证明极限的存在性，二、求解极限值。这两者有密切关系，两者是辩证统一的。用极限解决问题的方式通常是先考察未知量并设法将其

3、与变量相关联，并确认以无限的过程来得到未知结果。本文主耍归纳了数学分析屮求极限的十四种方法，1:利用两个准则求极限，2:利用极限的四则运算性质求极限，3:利用两个重要极限公式求极限,4：利用单侧极限求极限，5：利用函数的连续性求极限，6：利用无穷小量的性质求极限，7：利用等价无穷小量代换求极限，8：利用导数的定义求极限，9：利用屮值定理求极限，10：利用洛必达法则求极限，11：利用定积分求和式的极限，12：利用级数收敛的必要条件求极限，13：利用泰勒展开式求极限，14：利用换元法求极限。本文主要

4、探讨、总结求极限的一般方法并补充利用级数收敛及利用积分等求极限的特殊方法，而月•把每一种方法的特点及注意事项作了详细重点说明，并以实例加以例解，弥补了一般教材的不足。关键词：夹逼准则，单调有界准则，无穷小量的性质，洛必达法则，屮值定理，定积分，泰勒展开式，级数收敛的必耍条件.摘要错误！未定义书签。1引言22极限的求法22.1利用两个准则求极限22.2利用极限的四则运算性质求极限42.3利用导数的定义求极限52.4利用两个重要极限公式求极限62.5利用级数收敛的必要条件求极限62.6利用单侧极限求

5、极限82.7利用函数的连续性求极限82.8利用无穷小量的性质求极限92.9利用等价无穷小量代换求极限92.10利用中值定理求极限102.11洛必达法则求极限122.12利用定积分求和式的极限142.13利用泰勒展开式求极限152.14换元法求极限153结论16参考文献16致谢161引言极限是分析数学小最基本的概念用以描述变量在一定的变化过程小的终极状态。早在中国古代，极限的朴素思想和应用就已在文献中有记载。例如,3世纪屮国数学家刘徽的割圆术，就是用圆内接正多边形周长的极限是圆周长这一思想来近似地

6、计算圆周率龙的。随着微积分学的诞生，极限作为数学中的一个概念也就明确提出。但最初提出的这一概念是含糊不清的，因此在数学界引起不少争论其至怀疑。直到19世纪，由A.-L.柯西、K.(T.W.)外尔斯特拉斯等人的工作，才将英置于严密的理论基础Z上，从而得到举世一致的公认。数学分析屮的基本概念来表述，都可以用极限来描述。如函数y=/(%)在处导数的定义，定积分的定义，偏导数的定义，二重积分，三重积分的定义，无穷级数收敛的定义，都是用极限来定义的。极限是研究数学分析的基本公具。极限是贯穿数学分析的一条主

7、线。学好极限是从以下两方而着手。1：是考察所给函数是否存在极限。2：若函数否存在极限,则考虑如何计算此极限。本文主耍是对第二个问题即在极限存在的条件下，如何去求极限进行综述。2极限的求法2.1利用两个准则求极限(1)函数极限的迫敛性(夹逼法则):若一正整数N,当n>N时，有暫<儿5乙，且lim俎=lim儿=a则有limyn=a.jr—>oox—>oox-»ce利用夹逼准则求极限关键在于从兀的表达式屮，通常通过放大或缩小的方法找岀两个有相同极限值的数列｛儿｝和｛zj，使得儿5£5©。例1舄+1yj

8、n2+n求暫的极限解：因为兀单调递减，所以存在最大项和最小项1nn又因为n2X—>00limr-^==limX—>8lim=1x—>00(1)单调有界准则：单调有界数列必有极限，而且极限唯一。利用单调冇界准则求极限，关键先耍证明数列的存在，然后根据数列的通项递推公式求极限。例2证明下列数列的极限存在，并求极限。y{=4a,y2=Ja+y/a,y3=Ja+Ja+需,证明：从这个数列构造来看儿显然是单调增加的。用归纳法可证。又因为is=Jq+x，儿=丁。+儿，，儿=+儿一]所以得儿2=Q+.因为前