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《2019届高考数学二轮复习 中档大题满分练（七）立体几何(A组)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、中档大题满分练7.立体几何(A组)中档大题集训练,练就慧眼和规范,筑牢高考满分根基!1.如图,在四面体ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,BC=BD=CD.(1)求证:AD⊥BD.(2)若AB与平面BCD所成的角为60°,点E是AC的中点,求二面角C-BD-E的大小.【解析】(1)由已知得BC2+BD2=CD2,所以BD⊥BC,又AB⊥BC,BD∩AB=B,所以BC⊥平面ABD,所以BC⊥AD,又CD⊥AD,BC∩CD=C,所以AD⊥平面BCD,所以AD⊥BD.(2)由(1)知,AB与平面BCD所成的角为∠ABD,即∠ABD=
2、60°,设BD=2,则BC=2,在Rt△ADB中,AB=4,由(1)中BC⊥平面ABD,故平面ABC⊥平面ABD,在平面ABD内,过点B作Bz⊥AB,则Bz⊥平面ABC,以B为原点,建立空间直角坐标系,则B(0,0,0),A(4,0,0),C(0,2,0),E(2,1,0),由xD=
3、BD
4、cos60°=1,zD=
5、BD
6、sin60°=,得D(1,0,),所以=(2,1,0),=(1,0,),设平面BDE的法向量为m=(x,y,z),则取z=1,解得所以m=(-,2,1)是平面BDE的一个法向量,又=(-3,0,)是平面CBD的一
7、个法向量.设二面角C-BD-E的大小为θ,易知θ为锐角,则cosθ=
8、cos
9、===,所以θ=60°,即二面角C-BD-E的大小为60°.2.如图,在四棱锥A-EFCB中,△AEF为等边三角形,平面AEF⊥平面EFCB,EF∥BC,BC=4,EF=2a,∠EBC=∠FCB=60°,O为EF的中点.(1)求二面角F-AE-B的余弦值.(2)若点M为线段AC上异于点A的一点,BE⊥OM,求a的值.【解析】(1)因为△AEF是等边三角形,O为EF的中点,所以AO⊥EF,又因为平面AEF⊥平面EFCB,平面AEF∩平面EFCB=E
10、F,AO⊂平面AEF,所以AO⊥平面EFCB,取BC的中点G,连接OG,由题设知四边形EFCB是等腰梯形,所以OG⊥EF,由AO⊥平面EFCB,又GO⊂平面EFCB,所以AO⊥GO,建立如图所示空间直角坐标系,则E(a,0,0),A(0,0,a),B(2,(2-a),0),=(-a,0,a),=(a-2,(a-2),0),设平面AEB的法向量为n=(x,y,z),则即令z=1,则x=,y=-1,于是n=(,-1,1),又平面AEF的一个法向量为p=(0,1,0),设二面角F-AE-B大小为θ,所以cosθ=cos==-.
11、(2)由(1)知AO⊥平面EFCB,又BE⊂平面EFCB,所以AO⊥BE,又OM⊥BE,AO∩OM=O,所以BE⊥平面AOC,所以BE⊥OC,即·=0,因为=(a-2,(a-2),0),=(-2,(2-a),0),所以·=-2(a-2)-3(a-2)2=0,且0
