2019-2020年高中数学 2.4 空间直角坐标系 2.4.2 空间两点的距离公式教案 新人教B版必修2

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1、2019-2020年高中数学2.4空间直角坐标系2.4.2空间两点的距离公式教案新人教B版必修2教学分析　　　　　教材类比平面上两点间距离公式得到空间两点间的距离公式，值得注意的是在教学中，让学生了解空间两点间的距离公式的推导思路即可，不必证明．三维目标　　　　　掌握空间两点的距离公式及其应用，提高学生的类比能力和解决问题的能力．重点难点　　　　　教学重点：空间两点间的距离公式．教学难点：空间两点间的距离公式的推导．课时安排　　　　　1课时导入新课　　　　　设计1.距离是几何中的基本度量，几何问题和一些实际问题经常涉及距离，如飞机和轮船的

2、航线的设计，它虽不是直线距离，但也涉及两点之间的距离，一些建筑设计也要计算空间两点之间的距离，那么如何计算空间两点之间的距离呢？这就是我们本堂课的主要内容．设计2.我们知道，数轴上两点间的距离是两点的坐标之差的绝对值，即d＝

3、x1－x2

4、；平面直角坐标系中，两点之间的距离是d＝.同学们想一想，在空间直角坐标系中，两点之间的距离应怎样计算呢？又有什么样的公式呢？因此我们学习空间两点间的距离公式．推进新课　　　　　讨论结果：(1)平面直角坐标系中，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

5、AB

6、＝.(2)计算空间两点A(x1，y1，z1)，B(

7、x2，y2，z2)的距离公式是d(A，B)＝

8、AB

9、＝.特别地，点A(x，y，z)到原点O的距离公式为d(O，A)＝

10、OA

11、＝.(3)推导空间两点距离公式的思路是：过两点分别作三个坐标面的平行平面(如下图)，则这六个平面围成一个长方体，我们知道，长方体的对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和．于是，只要写出交一个顶点的三条棱的棱长用坐标计算的表达式，就能导出两点的距离公式．你还可以作线段AB在三个坐标平面上的正投影，把空间问题转化为平面问题加以解决．(如下图)思路1例1给定空间直角坐标系，在x轴上找一点P，使它与点P0(4,1,2)

12、的距离为.解：设点P的坐标是(x,0,0)，由题意，

13、P0P

14、＝，即＝，所以(x－4)2＝25.解得x＝9或x＝－1.所以点P的坐标为(9,0,0)或(－1,0,0)．点评：本题利用空间两点间距离公式列出了方程，求出了点P的坐标．变式训练1．在z轴上求一点M，使点M到点A(1,0,2)，B(1，－3,1)的距离相等．解：设M(0,0，z)，由题意，得

15、MA

16、＝

17、MB

18、，＝，整理并化简，得z＝－3，所以M(0,0，－3)．2．△ABC的三个顶点坐标为A(1，－2，－3)，B(－1，－1，－1)，C(0,0，－5)，试证明△ABC是一直角三角

19、形．分析：要判定△ABC是一直角三角形，只需求出

20、AB

21、，

22、BC

23、，

24、CA

25、的长，利用勾股定理的逆定理来判定．解：因为三个顶点坐标为A(1，－2，－3)，B(－1，－1，－1)，C(0,0，－5)，所以

26、AB

27、＝＝3，

28、BC

29、＝＝3，

30、CA

31、＝＝3.又因为

32、AB

33、2＋

34、CA

35、2＝

36、BC

37、2，所以△ABC是直角三角形．思路2例2已知A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，则

38、AB

39、的最小值为(　　)A．0B.C.D.分析：要求

40、AB

41、的最小值，首先我们需要根据空间两点间的距离公式表示出

42、AB

43、，然后再根据一元二次方程求最值的方

44、法得出

45、AB

46、的最小值．解析：

47、AB

48、＝＝＝≥.当x＝时，

49、AB

50、的最小值为.答案：B点评：利用空间两点间的距离公式转化为关于x的二次函数求最值是常用的方法．变式训练　在xOy平面内的直线x＋y＝1上确定一点M，使M到点N(6,5,1)的距离最小．解：由已知，可设M(x,1－x,0)，则

51、MN

52、＝＝.所以

53、MN

54、min＝.1．已知A(3,3,1)，B(1,0,5)，求：(1)线段AB的中点坐标和长度；(2)到A，B两点的距离相等的点P(x，y，z)的坐标满足的条件．解：(1)设M(x，y，z)是线段AB的中点，则根据中点坐标公式，得(2，

55、，3)．根据两点间距离公式，得

56、AB

57、＝＝，所以AB的长度为.(2)因为点P(x，y，z)到A，B的距离相等，所以有下面等式：＝.化简，得4x＋6y－8z＋7＝0，因此，到A，B两点的距离相等的点P(x，y，z)的坐标满足的条件是4x＋6y－8z＋7＝0.2．已知正方形ABCD和正方形ABEF的边长都是1，平面ABCD和平面ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0

58、ABEF＝AB，AB⊥BE，∴BE⊥平面ABC.∴AB，BC，BE两两垂直．∴以B为原点，分别以射线BA，BE，BC为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系B—xyz，如下图．∵正方形A