2019-2020年高中数学 1.1 空间几何体 1.1.4 投影与直观图课堂探究 新人教B版必修2

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1、2019-2020年高中数学1.1空间几何体1.1.4投影与直观图课堂探究新人教B版必修2探究一平行投影性质的应用1．在应用平行投影性质时，要注意投射线、投射面之间的位置关系，尤其不要忽视投射线平行于所给平面图形的情形．2．常见图形的平行投影图形图形的平行投影点是一个点线段是线段或一个点线段的中点是一个点(包括投影的线段的中点)直线是直线或一个点平行直线是两条平行直线，或重合为一条直线，或是两个点平面图形当平面图形与投射线不平行时，投影与原图形相似(包括全等)【典型例题1】下列四个命题：①矩形的平行投影一定是矩形；②梯形的平行投影一定是梯形；③两条相交直线的平行投影可

2、能平行；④如果一个三角形的平行投影仍是三角形，那么它的中位线的平行投影一定是这个三角形的平行投影的三角形的中位线．其中正确命题的个数为(　　)A．0B．1C．2D．3解析：当投射线与投射面垂直，矩形所在平面与投射面平行时，矩形的平行投影是矩形；当投射线与矩形所在平面平行时，投影是一条线段；当投射线与矩形不平行，矩形所在平面与投射面不平行时，其投影一般情况下为平行四边形，①错误；当投射线与梯形所在平面平行时，投影是一条线段；当梯形所在平面与投射线不平行时，梯形的平行投影一定是梯形，②错误；当投射线与两相交直线所在平面平行时它的投影是一条直线；当投射线与两相交直线确定的平

3、面不平行时，它的投影仍是两条相交直线，③错误；“一个三角形的平行投影仍是三角形”，说明投射线与三角形所在的平面不平行，故可以用平行投影的性质“在平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比”来判断，④是正确的．答案：B探究二画平面图形的直观图1．画水平放置的平面多边形的直观图的关键是确定顶点的位置．2．建立平面直角坐标系时，结合图形的结构特征，尽量使原平面图形的顶点在坐标轴或与坐标轴平行的线段上．3．原图中不与x轴或y轴平行的线段，可以先作坐标轴的平行线为辅助线画出其端点然后再连线．【典型例题2】画出水平放置的等腰梯形的直观图．思路分析：根据斜二测画法的规则，首

4、先在原来的等腰梯形中建立平面直角坐标系，要使尽可能多的顶点和线段在坐标轴上，这样作起图来较为方便，然后按横线相等，竖线是原来的一半的原则，作出对应的各个顶点，连线即成．画法：(1)如图①，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°．(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y′轴上取O′E′＝OE，以E′为中点画C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD．(3)连接B′C′，D′A′，并擦去辅助线x′轴和y′轴及O′点、E′点，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图，如图③．

5、探究三画空间图形的直观图1．画棱柱、棱锥直观图的步骤：(1)画轴：通常以高所在直线为z轴建系．(2)画底面：根据平面图形的直观图画法确定底面．(3)确定顶点：利用与z轴平行或在z轴上的线段确定有关顶点．(4)成图：擦去辅助线，连线成图．2．画棱台的直观图的四个步骤：(1)画轴：通常以高所在直线为z轴建系．(2)画下底面．(3)画高，画上底面．(4)连线成图．【典型例题3】有一个正三棱锥，底面边长为3cm，高为3cm，画出这个正三棱锥的直观图．思路分析：根据斜二测画法，先建立恰当的坐标系画出正三角形的直观图，再确定出正三棱锥的顶点即可．解：(1)先画出边长为3cm的正三

6、角形水平放置的直观图，如图①所示；(2)过正三角形的中心O′建立z′轴，画出正三棱锥的顶点V′，使V′O′＝3cm，连接V′A′，V′B′，V′C′，如图②所示；(3)擦去辅助线，被遮住部分用虚线表示，得到正三棱锥的直观图，如图③．点评正棱锥的直观图在今后的学习中经常要用到，应该掌握正棱锥直观图的画法思路，以便在今后的学习中，可以较快、较准确地画出正棱锥的草图．画草图的步骤为：画底面、找底面的中心、作高连线．探究四直观图的还原直观图的还原其实是画直观图的逆过程，只要明确角与边的转化关系，即可简化解答相关问题．(1)角的关系：原图形　　　　　斜二测直观图形∠xOy＝90

7、°∠x′O′y′＝45°(或135°)．(2)长度关系：与x轴平行的线段画后对应线段；与y轴平行的线段画后对应线段．【典型例题4】(1)水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为__________．解析：分析易知△ABC为以∠C为直角的直角三角形，且AC＝3，BC＝2×2＝4，所以AB＝5，故AB边上的中线长为．答案：(2)已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，那么原△ABC的面积为__________．解析：如图所示，过C′作y′轴的平行线C′D′，与x′轴交于