2019-2020年高中数学 1.2 平行线分线段成比例定理教案 新人教A版选修4-1

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1、2019-2020年高中数学1.2平行线分线段成比例定理教案新人教A版选修4-1课标解读1.掌握平行线分线段成比例定理及其推论．2.能利用平行线分线段成比例定理及推论解决有关问题.1．平行线分线段成比例定理(1)文字语言：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．(2)图形语言：如图1－2－1，l1∥l2∥l3，则有：＝，＝，＝.2．平行线分线段成比例定理的推论(1)文字语言：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．(2)图形语言：如图1－2－2，l1∥l2∥l3，图1－2－2则有：＝，＝，＝.1．平行线分线段成比例定理有哪些变式

2、？【提示】　变式有＝，＝，＝.2．平行线分线段成比例定理的逆命题是什么？它是正确的吗？【提示】　平行线分线段成比例定理的逆命题是：如果三条直线截两条直线所得的对应线段成比例，那么这三条直线平行，这个命题是错误的．3．怎样理解平行线分线段成比例定理的推论？【提示】　(1)这个推论也叫三角形一边平行线的性质定理．(2)它包括以下三种基本图形(其中DE为截线)．习惯上称前两种为“A型”，第三种为“X型”．(3)此推论的逆命题也正确，即如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．证明线段成比例　如图1－2－3，AD为

3、△ABC的中线，在AB上取点E，AC上取点F，使AE＝AF，图1－2－3求证：＝.【思路探究】　在这道题目中所证的比例组合都没有直接的联系，可以考虑把比例转移，过点C作CM∥EF，交AB于点M，交AD于点N，且BC的中点为D，可以考虑补一个平行四边形来求解．【自主解答】　如图，过C作CM∥EF，交AB于点M，交AD于点N，∵AE＝AF，∴AM＝AC.∵AD为△ABC的中线，∴BD＝CD.延长AD到G，使得DG＝AD，连接BG，CG，则四边形ABGC为平行四边形．∴AB＝GC.∵CM∥EF，∴＝＝，∴＝.又AB∥GC，AM＝AC，GC＝AB，∴＝＝.∴＝.1．解答本

4、题的关键是添加辅助线，构造平行四边形．2．比例线段常由平行线产生，因而研究比例线段问题应注意平行线的应用，在没有平行线时，可以添加平行线来促成比例线段的产生．3．利用平行线转移比例是常用的证题技巧，当题中没有平行线条件而有必要转移比例时，也常添加辅助平行线，从而达到转移比例的目的，如本题中，＝＝＝.　已知如图1－2－4，AD∥BE∥CF，EG∥FH，求证：＝.图1－2－4【证明】　∵AD∥BE∥CF，∴＝，又∵EG∥FH，∴＝，∴＝.证明线段相等　已知，如图1－2－5在梯形ABCD中，AD∥BC，F为对角线AC上一点，FE∥BC交AB于E，DF的延长线交BC于H，

5、DE的延长线交CB的延长线于G.图1－2－5求证：BC＝GH.【思路探究】　从复杂的图形中找出基本图形△ABC和△DHG，而EF是它们的截线，再使用定理或推论即可．【自主解答】　∵FE∥BC，∴＝，＝.∵AD∥EF∥BH，∴＝.∵＝.∴BC＝GH.1．解答本题的关键是构造分子或分母相同的比例式．2．应用平行线分线段成比例定理及推论应注意的问题(1)作出图形，观察图形及已知条件，寻找合适的比例关系；(2)如果题目中没有平行线，要注意添加辅助线，可添加的辅助线可能很多，要注意围绕待证式；(3)要注意“中间量”的运用与转化．(xx·信阳模拟)如图1－2－6所示，已知梯形

6、ABCD的对角线AC与BD相交于点P，两腰BA、CD的延长线相交于点O，EF∥BC且EF过点P.图1－2－6求证：(1)EP＝PF；(2)OP平分AD和BC.【解】　(1)∵EP∥BC，∴＝.又∵PF∥BC，∴＝.∵AD∥EF∥BC，∴＝.∴＝，∴EP＝PF.(2)在△OEP中，AD∥EP，∴＝.在△OFP中，HD∥PF，∴＝.∴＝.又由(1)知EP＝PF，∴AH＝HD.同理BG＝GC.∴OP平分AD和BC.平行线分线段成比例定理及推论的综合应用图1－2－7　如图1－2－7所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，EF经过梯形对角线的交点O，且EF∥AD.(1)求＋的值

7、；(2)求证：＋＝.【思路探究】　(1)利用比例线段转化所求；(2)证出EF＝2OE，再利用(1)的结果证明．【自主解答】　(1)∵OE∥AD，∴＝.∵EF∥AD，AD∥BC，∴EF∥AD∥BC，∴＝，∴＋＝＋＝＝1.(2)证明：∵AD∥BC∥EF，可得＝＝＝，故OF＝OE，即EF＝2OE.由(1)知，∵＋＝1，∴＋＝2.∴＋＝2，∴＋＝.1．本题要证明的结论较多，证明时要注意与图形的结合和对式子的合理变形．2．运用平行线分线段成比例定理的推论来证明比例式或计算比值，应分清相关三角形中的平行线段及所截边，并注意在求解过程中运用等比性质、合比性质等．如图1－2－8，

8、M是▱AB