第七讲——卷积码初步

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1、第七讲卷积码初步回顾：信道编码的本质通过增加冗余度，即将信息空间映射到更大的信道空间（在信道空间中绝大多数不是许用码字），以提高不同码字的间的差异程度，从而获得编码增益。回顾：编码与译码一种编码方案就是从信息空间映射到更大的信道空间的一个映射可选的编码方案种类数极其巨大，但其平均性能在码长趋于无穷时可以达到信道容量译码就是要根据接收的符号序列以最小的代价判断原发送码字，常用的有最小信息损失、最小差错概率、最大后验概率、最大似然、最小汉明距离等回顾：线性分组码由于编码方案数量巨大，完全的最优编码设计及任意编码的有限运算量译码都是很难做到的，因此引入了一系列的约束

2、线性分组就是要引入的一个约束，原因是人们对线性系统的研究比较充分但仅有线性分组的约束还不够，编码设计和译码的规则性还是不够强回顾：近世代数补充群、环、域子群与陪集子环、理想、多项式剩余代数、循环子空间域元素的级和周期、多项式根、本原多项式。。。素子域与扩域、GF(qm)的构造回顾：利用域分析和设计循环码通过域和多项式描述循环码循环子空间是xn-1多项式剩余代数中的理想生成多项式用生成多项式的根设计循环码回顾：线性分组码的代数译码伴随式译码大数逻辑译码循环码的捕错译码BCH码的译码对信息流编码的模型输入输出符号可以不同，可以用矢量表示，最常见的是取自同一域上的不

3、同维数的矢量。例如信息符号流{Ai}映射到编码符号流{Bi}，其中Ai为k维矢量，Bi为n维矢量，这样就是一个效率为k/n的编码通常，输入符号流是经过信源编码的结果，已经变成二进制流或较小的域符号。因此k维输入矢量和n维输出矢量往往是人为地一种分割。利用分组码对信息流编码对信息序列按一定长度分段，对每一段分别进行分组编码：Bi=fi(Ai)当采用线性分组码时有：Bi=GiAi当采用非时变线性分组码时：Bi=Gai分组码编码中第i个输出编码码段只与第i个输入信息段有关，即编码在段间没有记忆性有记忆的编码方法从一般的角度讲，当前的编码符号完全可以不仅受当前的信息符

4、号控制，而且还可受控于其它时刻的输入信息符号从因果的角度出发，可以只考虑受控于当前及历史上的输入符号流。换句话说，就是编码器可以是有记忆的因此输出的编码符号流也就具有了一定的相关性编码器的记忆性这种相关性是广义的，一种典型的相关性就是马氏链过程编码器的记忆可以是有限的，也可以是无限的。有限记忆系统的输出总可模型化为马氏过程，可以用状态转移图来描述。无限记忆系统中可用状态转移图描述的也是马氏过程。有限记忆和无限记忆对于线性系统而言，有限记忆和无限记忆就分别对应于FIR和IIR滤波器。当从滤波器角度看时，输入输出要用同一域中的元素。这样输入符号流应为GF(p)上的

5、k维矢量。输出符号流为GF(p)上的n维矢量。有限响应Yk=iAiXk-i，其中Ai为n行k列矩阵由于其生成方法与线性信号系统中的卷积相类似，因而称为卷积码。无限记忆Tk=iBiTk-i+Xk，其中Bi为k行k列矩阵Yk=iAiTk-I，其中Ai为n行k列矩阵卷积码的矩阵表示当m=2,A0=(11)T，A1=(01)T，A2=(11)T时，如前3个输入为110，则前6个输出为111010卷积码的树形图表示以m=2，A0=(11)T，A1=(01)T，A2=(11)T为例，如前3个输入为110，则前6个输出为111010卷积码的网格图表示以两个D触发器的组

6、合值为状态，如D1D2，描述从当前状态在不同的输入时的输出及将到达的状态，每个分支上的标注为x/y1y2，分别表示当前的输入和输出网格图表示举例以m=2，A0=(11)T，A1=(01)T，A2=(11)T为例，如前3个输入为110，则前6个输出为111010