材料力学(II)第二章材料力学孙训方

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1、第二章考虑材料塑性的极限分析§2－1塑性材料简化的应力-应变曲线§2－2拉压杆系的极限荷载§2－3等直圆杆扭转时的极限扭矩§2－4梁的极限弯矩·塑性铰1§2－1塑性材料简化的应力—应变曲线图a所示为低碳钢拉伸时的应力—应变曲线，bc表示卸载规律。工程中有时要考虑材料塑性来计算构件的承载能力，低碳钢等塑性材料在应力超过比例极限后，应力和应变为非线性关系，使分析极为复杂。为了简化计obec(a)2算，工程中把低碳钢等塑性材料的拉伸、压缩时的应力—应变关系简化为图b所示的曲线。即认为材料屈服前服从胡克定律，屈服后不考虑强化，拉伸和压缩时材料的屈服极限和弹性

2、模量分别相等。该曲线称为弹性─理想塑性模型，这种材料称为弹性─理想塑性材料(通常简称为理想弹塑性材料)。同样，也可将塑性材料的t－g曲线简化为图c所示的曲线。b(b)(c)3§2－2拉压杆系的极限荷载图a所示的静定结构中，各杆的材料相同，其应力—应变关系如图b所示。随着载荷增加，当其中任一杆横截面上的应力达到屈服极限时，该结构成为几何可变的机构，丧失承载能力。可见静定拉压杆系结构，考虑材料的塑性，也不能提高结构的承载能力。超静定杆系结构见下例。BCAF(a)(b)4例2－1图a所示超静定杆系结构中，三杆的材料相同，s－e关系如图b所示，弹性模量为E。

3、三杆的横截面积均为A。试分析当荷载F逐渐增加时三杆的应力和结点A位移的变化情况。(b)(a)l5解：(1)应力1.当F较小时，三杆均处于弹性工作状态，解此超静定结构，得到三杆的轴力，除以其横截面面积后得三杆的应力分别为可见F(c)6由于FN3=σsA，使超静定结构成为静定结构，荷载还可以继续增加，由结点A的平衡方程，得1、2杆的轴力为2.F增加到Fs时，3杆首先屈服，1、2杆仍处于弹性工作状态。Fs称为屈服载荷。令s3＝ss，F=Fs。由(2)式得应力为(4)7极限荷载和屈服荷载的比值为当a＝45°时，Fu/Fs＝1.41，即考虑材料塑性将使结构的承

4、载能力提高1.41倍。3.继续增加荷载，3杆的应力保持s3＝ss不变，1、2杆的应力增加，直到1、2杆也发生屈服(s1=s2=ss)，整个结构屈服，从而丧失承载能力。这种状态称为极限状态，相应的荷载为极限荷载，用Fu表示。令FN1=FN2=FN3=ssA，由结点A的平衡方程得8(2)A点的位移1.F=Fs时，s3＝ss，3杆屈服，1、2杆仍处于弹性工作状态，由图d可得A点的位移为2.继续增加荷载，3杆的应力s3＝ss保持不变，增加部分的荷载将由1、2杆承担，使1、2杆的弹性变形不断增加，直到1、2杆刚刚出现塑性变形，A点的位移为A(d)1329外力F

5、和A点位移Δ之间的关系，如图e所示。F

6、ax=ts(图c)作为破坏条件，并以此建立强度条件。边缘屈服时的扭矩称为屈服扭矩，并用Ts表示，其值为仅当tmax=ts时，圆杆不会发生明显的屈服变形，扭矩还可以继续增加。do(c)13(2)若扭矩增加到某个值时，圆杆进入弹塑性工作状态，根据平面假设，其g的变化规律如图d所示。根据图b所示的t~g关系，t的分布规律如图e所示，即靠近边缘处已进入塑性状态，其余部分仍处于弹性状态。设弹性区的直径为ds。取dA=2prdr，扭矩为o(d)d(e)14单位长度的扭转角为(3)当扭矩增加到T=Tu时，横截面上各点的切应力均达到ts(图f)，圆杆进入完全塑性状态

7、，即为极限状态，Tu称为极限扭矩，其值为式中，右边第一项为弹性区的扭矩，第二项为塑性区的扭矩。(f)15由(1)式和(4)式可得可见，Tu=4Ts/3。若采用极限状态为破坏条件，将使承载能力提高4/3倍。(f)16Ⅱ.残余应力＋扭矩达到Tu时，卸去全部荷载，即反向加Me=πd3τs/12，由于卸载时，t－g为线性关系(图a)，所以，，切应力的分布规律如图b所示，将它与极限状态的切应力(图c)叠加，得残余应力，其分布规律如图d所示。取dA=2prdr，其扭矩为＝Me=−TuMe=Tu(b)(c)Me=0(d)ts17扭矩T＝0，说明残余应力是自相平衡的

8、。18§2－4梁的极限弯矩·塑性铰Ⅰ.纯弯曲梁的极限弯矩图a所示矩形截面纯弯曲梁，其材料的s－e关系如图b所