2019春九年级数学下册 第三章 圆 3.7 切线长定理教案 （新版）北师大版

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1、*3.7切线长定理1．理解切线长的定义；(重点)2．掌握切线长定理并能运用切线长定理解决问题．(难点)一、情境导入如图①，PA为⊙O的一条切线，点A为切点．如图②所示，沿着直线PO将纸对折，由于直线PO经过圆心O，所以PO是圆的一条对称轴，两半圆重合．设与点A重合的点为点B，这里，OB是⊙O的一条半径，PB是⊙O的一条切线．图中PA与PB、∠APO与∠BPO有什么关系？二、合作探究探究点：切线长定理【类型一】利用切线长定理求线段的长如图，从⊙O外一点P引圆的两条切线PA、PB，切点分别是点A和点B，如果∠APB＝60°，线段PA＝10，那么弦

2、AB的长是(　　)A．10B．12C．5D．10解析：∵PA、PB都是⊙O的切线，∴PA＝PB.∵∠APB＝60°，∴△PAB是等边三角形，∴AB＝PA＝10.故选A.方法总结：切线长定理是在圆中判断线段相等的主要依据，经常用到．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题【类型二】利用切线长定理求角的度数如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点C在⊙O上，如果∠ACB＝70°，那么∠OPA的度数是________度．解析：如图所示，连接OA、OB.∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠

3、OAP＝∠OBP＝90°.又∵∠AOB＝2∠ACB＝140°，∴∠APB＝360°－∠PAO－∠AOB－∠OBP＝360°－90°－140°－90°＝40°.易证△POA≌△POB，∴∠OPA＝∠APB＝20°.故答案为20.方法总结：由公共点引出的两条切线，可以运用切线长定理得到等腰三角形．另外根据全等的判定，可得到PO平分∠APB.变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题【类型三】利用切线长定理求三角形的周长如图，PA、PB、DE是⊙O的切线，切点分别为A、B、F，已知PO＝13cm，⊙O的半径为5cm，求△PDE的周长．解

4、析：连接OA，根据切线的性质定理，得OA⊥PA.根据勾股定理，得PA＝12，再根据切线长定理即可求得△PDE的周长．解：连接OA，则OA⊥PA.在Rt△APO中，PO＝13cm，OA＝5cm，根据勾股定理，得AP＝12cm.∵PA、PB、DE是⊙O的切线，∴PA＝PB，DA＝DF，EF＝EB，∴△PDE的周长PD＋DE＋PE＝PD＋DF＋FE＋PE＝PD＋DA＋EB＋PE＝PA＋PB＝2PA＝24cm.方法总结：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”

5、第4题【类型四】利用切线长定理解决圆外切四边形的问题如图，四边形ABCD的边与圆O分别相切于点E、F、G、H，判断AB、BC、CD、DA之间有怎样的数量关系，并说明理由．解析：直接利用切线长定理解答即可．解：AD＋BC＝CD＋AB，理由如下：∵四边形ABCD的边与圆O分别相切于点E、F、G、H，∴DH＝DG，CG＝CF，BE＝BF，AE＝AH，∴AH＋DH＋CF＋BF＝DG＋GC＋AE＋BE，即AD＋BC＝CD＋AB.方法总结：由切线长定理可以得到一些相等的线段，一定要明确这些相等线段．记住“圆外切四边形的对边之和相等”，对我们以后解决问题有

6、很大帮助．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题【类型五】切线长定理与三角形内切圆的综合如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的内切圆，它与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F.(1)求证：BE＝CE；(2)若∠A＝90°，AB＝AC＝2，求⊙O的半径．解析：(1)利用切线长定理得出AD＝AF，BD＝BE，CE＝CF，进而得出BD＝CF，即可得出答案；(2)首先连接OD、OE、OF，进而利用切线的性质得出∠ODA＝∠OFA＝∠A＝90°，进而得出四边形ODAF是正方形，再利用勾股定理求出⊙O的半径．(1)证明：∵⊙O

7、是△ABC的内切圆，∴AD＝AF，BD＝BE，CE＝CF.∵AB＝AC，∴AB－AD＝AC－AF，即BD＝CF，∴BE＝CE；(2)解：连接OD、OE、OF，∵⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F，∴∠ODA＝∠OFA＝∠A＝90°.又∵OD＝OF，∴四边形ODAF是正方形．设OD＝AD＝AF＝r，则BE＝BD＝CF＝CE＝2－r.在△ABC中，∠A＝90°，∴BC＝＝2.又∵BC＝BE＋CE，∴(2－r)＋(2－r)＝2，得r＝2－，∴⊙O的半径是2－.方法总结：本题综合考查了正方形的判定以及切线长定理和勾股定理等知识，解决问题的关键是

8、得出四边形ODAF是正方形．【类型六】利用切线长定理解决存在性问题如图①，已知正方形ABCD的边长为2，点M是AD的中点，P是线段MD上的一动点(P不与M，D重合)