2019-2020年高一数学“每周一练”系列试题36

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1、2019-2020年高一数学“每周一练”系列试题361．设两个向量e1、e2满足

2、e1

3、＝2，

4、e2

5、＝1，e1、e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．2．已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R.(1)若a⊥b，求x的值；(2)若a∥b，求

6、a－b

7、.3．已知△ABC的外接圆半径为1，角A，B，C的对边分别为a，b，c.向量m＝(a,4cosB)，n＝(cosA，b)满足m∥n.(1)求sinA＋sinB的取值范围；(2)若实数x满足abx＝a＋b，试确定x的取值范围．4．己知向量a＝(

8、cosx，sinx)，b＝(cos，－sin)，c＝(1，－1)，其中x∈[－，]．(1)求证：(a＋b)⊥(a－b)；(2)设函数f(x)＝(

9、a＋c

10、2－3)(

11、b＋c

12、2－3)，求f(x)的最大值和最小值．5．在平面直角坐标系xOy中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；(2)设实数t满足()·=0，求t的值。1、解：由已知，＝

13、e1

14、2＝4，＝

15、e2

16、2＝1，e1·e2＝2×1×cos60°＝1.∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＝2t＋(2t2＋7)e1·e2＋7t＝2t2

17、＋15t＋7.由2t2＋15t＋7＜0，得－7＜t＜－.由2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)(λ＜0)，得，∴.由于2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，故(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＜0且2te1＋7e2≠λ(e1＋te2)(λ＜0)，故t的取值范围是(－7，－)∪(－，－)．2、解：(1)若a⊥b，则a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0.整理得x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.(2)若a∥b，则有1×(－x)－x(2x＋3)＝0，即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2.当x＝0时，a＝(1,0

18、)，b＝(3,0)，∴

19、a－b

20、＝

21、(1,0)－(3,0)

22、＝

23、(－2,0)

24、＝＝2.当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，∴

25、a－b

26、＝

27、(1，－2)－(－1,2)

28、＝

29、(2，－4)

30、＝＝2.3、解：(1)因为m∥n，所以＝，即ab＝4cosAcosB.因为△ABC的外接圆半径为1，由正弦定理，得ab＝4sinAsinB.于是cosAcosB－sinAsinB＝0，即cos(A＋B)＝0.因为0＜A＋B＜π.所以A＋B＝.故△ABC为直角三角形．sinA＋sinB＝sinA＋cosA＝sin(A＋)，因为＜A＋＜，所以＜sin(A＋)≤1，故1＜s

31、inA＋sinB≤.(2)x＝＝＝.设t＝sinA＋cosA(1＜t≤)，则2sinAcosA＝t2－1，x＝，因为x′＝＜0，故x＝在(1，]上是单调递减函数．所以≥.所以实数x的取值范围是[，＋∞)．4、解：(1)证明：a＋b＝(cosx＋cos，sinx－sin)，a－b＝(cosx－cos，sinx＋sin)，(a＋b)·(a－b)＝(cosx)2－(cos)2＋(sinx)2－(sin)2＝0.∴(a＋b)⊥(a－b)．(2)∵a＋c＝(cosx＋1，sinx－1)，b＋c＝(cos＋1，－sin－1)．

32、a＋c

33、2－3＝(cosx＋1)2＋(sinx

34、－1)2－3＝2cosx－2sinx.

35、b＋c

36、2－3＝(cos＋1)2＋(－sin－1)2－3＝2cos＋2sin.∴f(x)＝(

37、a＋c

38、2－3)(

39、b＋c

40、2－3)＝(2cosx－2sinx)(2cos＋2sin)＝4(cosx·cos＋cosx·sin－sinx·cos－sinx·sin)＝4(cos2x－sinx)＝4(1－2sin2x－sinx)＝4(－2sin2x－sinx＋1)，∴当sinx＝－时，y最大值＝4(－2×＋＋1)＝，∴当sinx＝1时，y最小值＝4(－2×1－1＋1)＝－8.5、（1）（方法一）由题设知，则所以故所求的两条对角线的长

41、分别为、。（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则:E为B、C的中点，E（0，1）又E（0，1）为A、D的中点，所以D（1，4）故所求的两条对角线的长分别为BC=、AD=；（2）由题设知：=(－2,－1)，。由()·=0，得：，从而所以。或者：，