2019-2020年高一数学“每周一练”系列试题36

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1、2019-2020年高一数学“每周一练”系列试题361.设两个向量e1、e2满足

2、e1

3、=2,

4、e2

5、=1,e1、e2的夹角为60°,若向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角,求实数t的取值范围.2.已知平面向量a=(1,x),b=(2x+3,-x),x∈R.(1)若a⊥b,求x的值;(2)若a∥b,求

6、a-b

7、.3.已知△ABC的外接圆半径为1,角A,B,C的对边分别为a,b,c.向量m=(a,4cosB),n=(cosA,b)满足m∥n.(1)求sinA+sinB的取值范围;(2)若实数x满足abx=a+b,试确定x的取值范围.4.己知向量a=(

8、cosx,sinx),b=(cos,-sin),c=(1,-1),其中x∈[-,].(1)求证:(a+b)⊥(a-b);(2)设函数f(x)=(

9、a+c

10、2-3)(

11、b+c

12、2-3),求f(x)的最大值和最小值.5.在平面直角坐标系xOy中,点A(-1,-2)、B(2,3)、C(-2,-1)。(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长;(2)设实数t满足()·=0,求t的值。1、解:由已知,=

13、e1

14、2=4,=

15、e2

16、2=1,e1·e2=2×1×cos60°=1.∴(2te1+7e2)·(e1+te2)=2t+(2t2+7)e1·e2+7t=2t2

17、+15t+7.由2t2+15t+7<0,得-7<t<-.由2te1+7e2=λ(e1+te2)(λ<0),得,∴.由于2te1+7e2与e1+te2的夹角为钝角,故(2te1+7e2)·(e1+te2)<0且2te1+7e2≠λ(e1+te2)(λ<0),故t的取值范围是(-7,-)∪(-,-).2、解:(1)若a⊥b,则a·b=(1,x)·(2x+3,-x)=1×(2x+3)+x(-x)=0.整理得x2-2x-3=0,解得x=-1或x=3.(2)若a∥b,则有1×(-x)-x(2x+3)=0,即x(2x+4)=0,解得x=0或x=-2.当x=0时,a=(1,0

18、),b=(3,0),∴

19、a-b

20、=

21、(1,0)-(3,0)

22、=

23、(-2,0)

24、==2.当x=-2时,a=(1,-2),b=(-1,2),∴

25、a-b

26、=

27、(1,-2)-(-1,2)

28、=

29、(2,-4)

30、==2.3、解:(1)因为m∥n,所以=,即ab=4cosAcosB.因为△ABC的外接圆半径为1,由正弦定理,得ab=4sinAsinB.于是cosAcosB-sinAsinB=0,即cos(A+B)=0.因为0<A+B<π.所以A+B=.故△ABC为直角三角形.sinA+sinB=sinA+cosA=sin(A+),因为<A+<,所以<sin(A+)≤1,故1<s

31、inA+sinB≤.(2)x===.设t=sinA+cosA(1<t≤),则2sinAcosA=t2-1,x=,因为x′=<0,故x=在(1,]上是单调递减函数.所以≥.所以实数x的取值范围是[,+∞).4、解:(1)证明:a+b=(cosx+cos,sinx-sin),a-b=(cosx-cos,sinx+sin),(a+b)·(a-b)=(cosx)2-(cos)2+(sinx)2-(sin)2=0.∴(a+b)⊥(a-b).(2)∵a+c=(cosx+1,sinx-1),b+c=(cos+1,-sin-1).

32、a+c

33、2-3=(cosx+1)2+(sinx

34、-1)2-3=2cosx-2sinx.

35、b+c

36、2-3=(cos+1)2+(-sin-1)2-3=2cos+2sin.∴f(x)=(

37、a+c

38、2-3)(

39、b+c

40、2-3)=(2cosx-2sinx)(2cos+2sin)=4(cosx·cos+cosx·sin-sinx·cos-sinx·sin)=4(cos2x-sinx)=4(1-2sin2x-sinx)=4(-2sin2x-sinx+1),∴当sinx=-时,y最大值=4(-2×++1)=,∴当sinx=1时,y最小值=4(-2×1-1+1)=-8.5、(1)(方法一)由题设知,则所以故所求的两条对角线的长

41、分别为、。(方法二)设该平行四边形的第四个顶点为D,两条对角线的交点为E,则:E为B、C的中点,E(0,1)又E(0,1)为A、D的中点,所以D(1,4)故所求的两条对角线的长分别为BC=、AD=;(2)由题设知:=(-2,-1),。由()·=0,得:,从而所以。或者:,

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