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1、2019-2020年高中数学第二章圆锥曲线与方程能力深化提升含解析新人教A版类型一 圆锥曲线的定义及应用【典例1】(xx·日照高二检测)如图所示,已知定圆F1:(x+5)2+y2=1,定圆F2:(x-5)2+y2=42,动圆M与定圆F1,F2都外切,求动圆圆心M的轨迹方程.【解析】圆F1:(x+5)2+y2=1,圆心F1(-5,0),半径r1=1;圆F2:(x-5)2+y2=42,圆心F2(5,0),半径r2=4.设动圆M的半径为R,则有
2、MF1
3、=R+1,
4、MF2
5、=R+4,所以
6、MF2
7、-
8、MF1
9、=3<10=
10、
11、F1F2
12、.所以点M的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线的左支,且a=,c=5,于是b2=c2-a2=.所以动圆圆心M的轨迹方程为-=1.【方法总结】圆锥曲线定义的应用技巧(1)在求点的轨迹问题时,若所求轨迹符合圆锥曲线的定义,则根据其直接写出圆锥曲线的轨迹方程.(2)焦点三角形问题,在椭圆和双曲线中,常涉及曲线上的点与两焦点连接而成的“焦点三角形”,处理时常结合圆锥曲线的定义及解三角形的知识解决.(3)在抛物线中,常利用定义,以达到“到焦点的距离”和“到准线的距离”的相互转化.【巩固训练】已知A(0,7),B(0
13、,-7),C(12,2),以C为一个焦点作过A,B的椭圆,求椭圆的另一个焦点F的轨迹方程.【解析】
14、AC
15、=13,
16、BC
17、=15,
18、AB
19、=14,又
20、AF
21、+
22、AC
23、=
24、BF
25、+
26、BC
27、,所以
28、AF
29、-
30、BF
31、=
32、BC
33、-
34、AC
35、=2,故F点的轨迹是以A,B为焦点,实轴长为2的双曲线,又c=7,a=1,b2=48,故F点的轨迹方程是y2-=1(y≤-1).类型二 圆锥曲线的性质及应用【典例2】(1)设P为直线y=x与双曲线-=1(a>0,b>0)左支的交点,F1是左焦点,PF1垂直于x轴,则双曲线的离心率e=___
36、_____.(2)(xx·沈阳高二检测)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF,BF.若
37、AB
38、=10,
39、AF
40、=6,cos∠ABF=,则C的离心率e=________.【解析】(1)由PF1⊥x轴知P,把P代入双曲线得:-=1,整理得e2=1,所以e2=,e=.答案:(2)在△ABF中,由余弦定理得,cos∠ABF=,所以
41、BF
42、2-16
43、BF
44、+64=0,所以
45、BF
46、=8.设右焦点为F1,因为直线过原点,所以
47、BF1
48、=
49、AF
50、=6,所以2a=
51、BF
52、+
53、BF1
54、
55、=14,所以a=7,因为
56、AB
57、=10,
58、BF
59、=8,
60、AF
61、=6,所以△ABF是以∠AFB为直角的直角三角形.因为O为Rt△ABF斜边AB的中点,所以
62、OF
63、=
64、AB
65、=5,所以c=5,所以e=.答案:【方法总结】求离心率的两种常用方法(1)求得a,c的值,直接代入公式e=求得.(2)列出关于a,b,c的齐次方程(或不等式),然后根据a,b,c的关系消去b,转化成关于e的方程(或不等式)求解.【巩固训练】已知F1为椭圆的左焦点,A,B分别为椭圆的右顶点和上顶点,P为椭圆上的点,当PF1⊥F1A,PO∥AB(O为
66、椭圆中心)时,求椭圆的离心率.【解析】由已知可设椭圆的方程为+=1(a>b>0),c2=a2-b2,F1(-c,0),因为PF1⊥F1A,所以P,即P,因为AB∥PO,所以kAB=kOP,即-=-,所以b=c,所以a2=2c2,所以e==.类型三 直线与圆锥曲线【典例3】已知双曲线C:2x2-y2=2与点P(1,2),求过点P(1,2)的直线l的斜率的取值范围,使l与C分别有一个公共点,两个公共点,没有公共点.【解析】(1)当l垂直于x轴时,直线与双曲线相切,有一个公共点.(2)当l不与x轴垂直时,设直线l为y-2
67、=k(x-1),代入双曲线方程中,有(2-k2)x2+2(k2-2k)x-k2+4k-6=0.当k2=2时,即k=±时,有一个解.当k2≠2时,Δ=4(k2-2k)2-4(2-k2)(-k2+4k-6)=48-32k.令Δ=0可得k=.令Δ>0,即48-32k>0,此时k<.令Δ<0,即48-32k<0,此时k>.所以当k=±,或k=,或k不存在时,直线与双曲线只有一个公共点;当k<-,或-时,直线l与双曲线没有公共点.【方法总结】直线与圆锥曲线的位置关系的关注
68、点(1)直线与圆锥曲线的位置关系的研究可以转化为相应方程组的解的讨论,即联立得方程组通过消去y(也可以消去x)得到有关x的方程ax2+bx+c=0进行讨论.这时要注意考虑a=0和a≠0两种情况,对双曲线和抛物线而言,一个公共点的情况除a≠0,Δ=0外,直线与双曲线的渐近线平行或直线与抛物线的对称轴平行或重合时,都只有一个公共点(此时直线与双曲线、抛物线属相交
