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《2017-2018学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4抛物线2.4.1抛物线及其标准方程优化练习新人教A版选修2 》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.4.1抛物线及其标准方程[课时作业][A组 基础巩固]1.经过点(2,4)的抛物线的标准方程为( )A.y2=8xB.x2=yC.y2=8x或x2=yD.无法确定解析:由题设知抛物线开口向右或开口向上,设其方程为y2=2px(p>0)或x2=2py(p>0),将点(2,4)代入可得p=4或p=,所以所求抛物线标准方程为y2=8x或x2=y,故选C.答案:C2.已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,
2、AF
3、=x0,则x0=( )A.1B.2C.4D.8解析:由题意知抛物线的准线为x=-.因为
4、AF
5、=x0,根据抛物线的定义可得x0+=
6、AF
7、
8、=x0,解得x0=1,故选A.答案:A3.若动点M(x,y)到点F(4,0)的距离等于它到直线x+4=0的距离,则M点的轨迹方程是( )A.x+4=0B.x-4=0C.y2=8xD.y2=16x解析:根据抛物线定义可知,M点的轨迹是以F为焦点,以直线x=-4为准线的抛物线,p=8,∴其轨迹方程为y2=16x,故选D.答案:D4.已知双曲线C1:-=1(a>0,b>0)的离心率为2.若抛物线C2:x2=2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2,则抛物线C2的方程为( )A.x2=yB.x2=yC.x2=8yD.x2=16y解析:抛物线的焦点,双曲线的渐近
9、线为y=±x,不妨取y=x,即bx-ay=0,焦点到渐近线的距离为=2,即ap=4=4c,所以=,双曲线的离心率为=2,所以==2,所以p=8,所以抛物线方程为x2=16y.故选D.答案:D5.如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则△BCF与△ACF的面积之比是( )A.B.C.D.解析:由图形可知,△BCF与△ACF有公共的顶点F,且A,B,C三点共线,易知△BCF与△ACF的面积之比就等于.由抛物线方程知焦点F(1,0),作准线l,则l的方程为x=-1.∵点A,B在抛物线上,过A,B
10、分别作AK,BH与准线垂直,垂足分别为点K,H,且与y轴分别交于点N,M.由抛物线定义,得
11、BM
12、=
13、BF
14、-1,
15、AN
16、=
17、AF
18、-1.在△CAN中,BM∥AN,∴==.答案:A6.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆x2+y2-6x-7=0相切,则p的值为________.解析:依题意得,直线x=-与圆(x-3)2+y2=16相切,因此圆心(3,0)到直线x=-的距离等于半径4,于是有3+=4,即p=2.答案:27.设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,定点A(0,2).若线段FA的中点B在抛物线上,则B到该抛物线准线的距离为________.解析:抛物线
19、的焦点F的坐标为,线段FA的中点B的坐标为,代入抛物线方程得1=2p×,解得p=,故点B的坐标为,故点B到该抛物线准线的距离为+=.答案:8.对于抛物线y2=4x上任意一点Q,点P(a,0)都满足
20、PQ
21、≥
22、a
23、,则a的取值范围是________.解析:设Q(x0,±20)(x0≥0),则
24、PQ
25、=≥
26、a
27、对∀x0≥0恒成立,即(x0-a)2+4x0≥a2对∀x≥0恒成立.化简得x+(4-2a)x0≥0.当4-2a≥0时,对∀x0≥0,x+(4-2a)x0≥0恒成立,此时a≤2;当4-2a<0时,0<x0<2a-4时不合题意.答案:(-∞,2]9.已知圆A:(x+2)2
28、+y2=1与定直线l:x=1,且动圆P和圆A外切并与直线l相切,求动圆的圆心P的轨迹方程.解析:如图,作PK垂直于直线x=1,垂足为K,PQ垂直于直线x=2,垂足为Q,则
29、KQ
30、=1,∴
31、PQ
32、=r+1,又
33、AP
34、=r+1.∴
35、AP
36、=
37、PQ
38、.故点P到圆心A(-2,0)的距离和到定直线x=2的距离相等.∴点P的轨迹为抛物线,A(-2,0)为焦点.直线x=2为准线.∴=2.∴p=4.∴点P的轨迹方程为y2=-8x.10.如图所示,花坛水池中央有一喷泉,水管O′P=1m,水从喷头P喷出后呈抛物线状,先向上至最高点后落下,若最高点距水面2m,P距抛物线的对称轴1m,则水池的
39、直径至少应设计为多少米?(精确到整数位)解析:如图所示,建立平面直角坐标系,设抛物线方程为x2=-2py(p>0),依题意有P(-1,-1),在此抛物线上,代入得p=,故得抛物线方程为x2=-y.又因为B点在抛物线上,将B(x,-2)代入抛物线方程得x=,即
40、AB
41、=,则水池半径应为
42、AB
43、+1=+1,因此所求水池的直径为2(1+),约为5m,即水池的直径至少应设计为5m.[B组 能力提升]1.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3)在抛物线上,且2x2=x1+x3,则有(